ランダムに選択されたアメリカ人は、2人が同じまたは隣接する州に50％の確率で住むために何人必要ですか？

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一般的な偶然と、それにもかかわらず（不当に）平均的な人に印象を与える「近い」偶然を研究しています。以下の質問は、「2人が同じ誕生日を共有する確率が50％になるためには、ランダムに選択された人は何人必要か？」と尋ねる有名な誕生日問題の拡張です。答えはです。（実際には、誕生日が年間を通じて均一に分散されていないという事実を組み込むと、少し低くなりますが、代わりに特定の月に「まとまり」になり、2人が同じ誕生日を共有する可能性が高くなります。）条件を緩和し、同じ誕生日である、または1日だけ異なるという「ほぼ」の偶然を許可します。答えはに下がります。$23$$14$

以下は誕生日の問題の拡張ですが、もっと面白くて複雑です。

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ランダムに選択されたアメリカ人のうち、2人がa）同じ州に住んでいる、またはb）同じまたは隣接した州に住んでいる可能性が50％になるには、どれくらいの数のアメリカ人が必要ですか？

50の州とその人口のリストが与えられていると仮定します。

${\cal S} = \{ (AL, 4.803M), (AK, 0.738M), (AR, 2.978M), \ldots \}$

状態隣接情報（自己隣接を含む）を含む隣接行列（または無向グラフ）と同様に、境界を共有します。${\bf M}$$g$

$\{ (CA, CA), (CA, WA), (CA, NV), (CA, AZ), (AK, AK), (ME, NH), \ldots \}$。

条件付き確率を使用して、確率的シミュレーションに頼らずにこの問題を計算することに注意してください。このような厳密なアプローチは原則に基づいており、非常に大きな問題に対してより自然に一般化されます。

a）へのアプローチは誕生日問題の一般化ですが、b）への回答は少し複雑に見えます。

私は方程式（と説明）だけを求めています。その後、国勢調査と地理データを使用して数値を計算できます。

ここで、確率的検索を通じて、b）への答えは（おそらく驚くべき）わずか3.5人であることに注意します。4人の場合、可能性はほぼ60％であり、少なくとも2人は同じ州または近隣の州からです。

私は質問b）に回答します。これはより一般的であるためです。質問a）は、隣接行列が単に単位行列であるb）の特別な場合と考えることができます。正確な解の計算は人の数に応じて急速に拡大するため、近似解法が必要になる場合もありますが、正確な方法を説明します。より適切に拡張できるソリューションはないと思いますが、誰かが私を修正できるかもしれません。

それは、少数の人々に対して明示的なケースを実行し、さらに追加して、パターンを探すことによってそれを調べるのに役立ちます。

任意の2人の隣接する状態の確率から始めましょう。最初の人は状態である確率、及び第二の人は状態にあるある 状態の人々の数でありおよび場合、これらは隣接しますここで、は隣接行列の番目の要素です。したがって、それらが隣接する確率は、 $i$$j$

$$P(i,j) = p_i p_j,$$ $p_l = S_l/N,$$S_l$$l,$$N=\sum_l S_l.$$M_{i j} = 1,$$M_{i j}$$i,j$ $$\begin{split} P_2 &= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k P(i,j) M_{i j} \\ &= 2 \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k p_i p_j M_{i j} + \sum_{i=1}^k p_i^2, \end{split}$$ ここで、を、人のグループに少なくとも1つの隣接ペアがある確率と定義していますは状態の数です。また、すべての対角要素は1 であると想定しています。ただし、誕生日の問題と同様に、それらが隣接していない確率を見つけると、 $P_m$$m$$k$$M$ $$Q_2 = 1-P_2 = 2 \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k p_i p_j (1 - M_{i j}).$$

人で見てみましょう。それはそれを見るのは簡単だ、 ただし、この計算が多数の人々にとって扱いにくいものになる理由も簡単にわかります。上記の点で因数分解することができないためとで表示されなければならない誘導プロセスがどのと我々は判断ので、合計の観点アウトと思われます質問の。値については明示的に解決する必要があります。ただし、人の場合と同様に、上部の「直角三角形」を一般的に使用できます。$3$

$$Q_3 = \sum_{i,j,l} p_i p_j p_l (1 - M_{i j}) (1 - M_{i l}) (1 - M_{j l}).$$ $Q_2$$M_{i l}$$M_{j l}$$i,j$$Q_{m+1}$$Q_m$$2$$m$相互に排他的な状態の人々の可能なセットの3次元配列。適切な係数により、起こり得る方法がいくつあるかがわかります。たとえば、、、がすべて異なる3人の場合、3人、、および方法は、3つのサンプルを通じて出現できます。$i$$j$$l$$3! = 6$$i$$j$$l$

以下のための人々 、 2行目では、項の合計から項の合計に削減され、スケーリングが非常に不十分です。また、各項には、係数を超える積が含まれます。したがって、全体として、これは計算です。隣接関係を無視して質問（a）に答えると、$m$

$$\begin{split} Q_m &= \sum_{i_1=1}^k \sum_{i_2=1}^k \cdots \sum_{i_m=1}^k \left( p_{i_m} \prod_{j=1}^{m-1} p_{i_j} \prod_{l=j+1}^m (1 - M_{i_j, i_l}) \right) \\ &= m! \sum_{i_1=1}^{k-m+1} \sum_{i_2=i_1+1}^{k-m+2} \cdots \sum_{i_m=i_{m-1}+1}^k \left( p_{i_m} \prod_{j=1}^{m-1} p_{i_j} \prod_{l=j+1}^m (1 - M_{i_j, i_l}) \right). \end{split}$$ $k^m$$k \choose m$$m (m+1)/2$$O({k \choose m} m^2)$$O({k \choose m} m).$しかし、多分あなたは幸運になるでしょう、そして確率が最初に50％を超えるの値は非常に小さいでしょう。$m$

マルコフ行列を使用してこれを解決し、人を選択するランダムなプロセスをモデル化することができます。このアプローチはセットアップにかなりの労力を必要としますが、答えを得るには構造化された方法があります。

マルコフ行列は、離散した「状態」間を移動できるランダムなプロセスをモデル化するために使用されます（米国の状態とマルコフの状態の間の混乱を避けるために、マルコフの状態を「フェーズ」と呼びます）。

このコンテキストでは、マルコフフェーズは、アメリカ人を選択したすべての州のリストです。たとえば、最初のアメリカ人がワシントン出身の場合、フェーズは{WA}であり、次のアメリカ人がテキサス州出身の場合、フェーズは{TX、WA}です。人を選択した順序は関係ないため、{TX、WA}は{WA、TX}と同じフェーズです。

サンプリングを開始する前に、アメリカ人が選択されていないフェーズ{0}から開始します。隣接する州から2人のアメリカ人を選択した単一フェーズ{E}（「終了」を意味する）を定義します。アメリカ人を選択するランダムなプロセスは、{E}に達するまで続きます。フェーズ{TX、WA}から続けて、次のアメリカ人がオレゴン出身である場合、オレゴンはワシントン州のそばにあるため、フェーズは{E}に移行します。

ランダムプロセスが{E}に達すると、別のフェーズに変更できないため、{E}は「吸収状態」として知られています。

{E}に到達する前に発生する可能性のあるすべてのフェーズのリストを作成する必要があります。

次に、状態間の遷移の確率のマルコフ行列を計算する必要があります。まず最初に、をある州からアメリカ人をサンプリングする確率のベクトルとします。次に、はフロリダから誰かを選ぶチャンスです。$M$$P$$P_{florida}$

マルコフ行列のエントリは、フェーズからフェーズへの遷移の確率です。たとえば、{WA}から{TX、WA}への移行はです。{WA}から{E}に移行する確率は、です。そして、{E}から{E}に遷移する確率は1です。$M_{ij}$$i$$j$$P_{Texas}$$P_{Washington}+P_{Idaho}+P_{Oregon}$

常に{0}からサンプリングを開始します。1人のアメリカ人がサンプリングされた後、{E}にいる確率はです。2人のアメリカ人がサンプリングされた後、{E}にいる確率は（行列Mはそれ自体で乗算され、行{0から確率が得られます。 }および列{E}）。$M_{\{0\}\{E\}}$$(MM)_{\{0\}\{E\}}$

同様に、3人のアメリカ人がサンプリングされた後、{E}にいる確率はです。確率が少なくとも50％になるまでMを掛け続ける必要があります$(MMM)_{\{0\}\{E\}}$

を見つけるのは大変な労力が必要ですが、それがわかったら、結果を取得するのは簡単です。$M$