確率密度関数の平均が存在するかどうかを証明する方法

これはよく知られている実数値の確率変数の指定された $X$ のPDFと $f$ 、の平均値 $X$ （存在する場合）によって発見された

E [X] = \int_{R} x f (x) d x .

$\begin{equation} \mathbb{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}x\,f(x)\,\mathrm{d}x\,. \end{equation}$

一般的な質問： ここで、上記の積分を閉じた形で解くことができないが、平均が存在して有限であるかどうかを簡単に判断したい場合、それを証明する方法はありますか？（おそらく）平均が存在するための特定の基準が満たされているかどうかを判断するために、被積分関数に適用できるいくつかのテストはありますか？

アプリケーション固有の質問： 平均が存在するかどうかを確認したい次のpdfがあります：

f (x) = \frac{| σ_{2}^{2} μ_{1} x + μ_{2} σ_{1}^{2} |}{σ_{1}^{3} σ_{2}^{3} a^{3} (x)} ϕ (\frac{μ_{2} x - μ_{1}}{σ_{1} σ_{2} a (x)}) for x \in R,

$\begin{equation} f(x)=\frac{|\sigma_{2}^{2}\mu_{1}x+\mu_{2}\sigma_{1}^{2}|}{\sigma_{1}^{3}\sigma_{2}^{3}a^{3}(x)}\,\phi\left(\frac{\mu_{2}x-\mu_{1}}{\sigma_{1}\sigma_{2}a(x)}\right)\qquad \text{for}\ x\in\mathbb{R}\,, \end{equation}$

ここで、 $\mu_{1},\mu_{2}\in\mathbb{R}$ 、 $\sigma_{1},\sigma_{2}>0$ 、 $a(x)=\left(\frac{x^{2}}{\sigma_{1}^{2}}+\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}\right)^{1/2}$ 、及び $\phi(g(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-g^{2}(x)/2}$ 。

私はその意味が役に立たないように解決しようとしました。

distributions mathematical-statistics expected-value

— アーロン・ヘンドリクソン
ソース

特定の質問では、

は適切な密度関数ではありません。仮定

、

及び

、

、次いで、

のために

。

f (x)

$f(x)$

μ_{1} = 1

$\mu_1 =1$

μ_{2} = 0

$\mu_2=0$

σ_{j} = 1

$\sigma_j = 1$

j = 1, 2

$j=1,2$

f (x) < 0

$f(x)<0$

x < 0

$x<0$

— EliKa 2017

@EliKa良い発見。タイプミスがあるかもしれません。質問をチェックして修正します。それでも、私は依然として質問の「どのように」の部分に主に関心があります。つまり、平均が存在し、有限であるかどうかを判断するにはどうすればよいですか？

— アーロンヘンドリクソン

バウンディングを試すことができます

上下にいくつかの非負関数

および

使用して、それらを統合できます。

統合できる場合、分布には平均があります。場合

、その後、お使いのディストリビューションには平均値を持っていません。

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

u (x)

$u(x)$

\int b (x) d x = \infty

$\int b(x)dx = \infty$

— Ceph 2017

@Cephそれは良い提案です。その技術は「圧搾定理」に基づいていますか？

— アーロンヘンドリクソン

@AaronHendrickson同様のアイデアですが、（私が理解しているように）スクイーズの定理は少し異なります。次のようになります。ここでSTを使用して：あなたは見つける

と

というのバウンド

（むしろ境界よりも

あなたが見つけることができるように私の以前のコメントのように）

、

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

x f (x)

$xf(x)$

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

\int u (x) d x = \int b (x) d x = μ

$\int u(x) dx = \int b(x) dx= \mu$

μ

$\mu$ 分布の平均です。しかし、そのような

と

を見つけるのは難しいので、それはおそらくもっともらしい戦略ではありません。（これらは、メジャー0のセットでのみ

と異なる可能性があるため、おそらく

よりも簡単に統合できません。）

u

$u$

b

$b$

x f (x)

$xf(x)$

x f (x)

$xf(x)$

— Ceph

一般的な手法はありませんが、いくつかの単純な原則があります。 1つは、の尾の動作を扱いやすい関数と比較することによって調べることです。 $f$

定義により、期待値は2つの制限です（とは独立して変化するため）。 $y$ $z$

E_{y, z} [f] = lim_{y \to - \infty, z \to \infty} \int_{y}^{z} x f (x) d x = lim_{y \to - \infty} \int_{y}^{0} x f (x) d x + lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} x f (x) d x .

$E_{y,z}[f] = \lim_{y\to-\infty,z\to\infty}\int_y^z x f(x) dx = \lim_{y\to-\infty}\int_y^0 x f(x) dx+ \lim_{z\to\infty}\int_0^z x f(x) dx.$

右側の2つの積分の扱いは同じなので、正の積分に注目しましょう。制限値を保証する動作の1つは、それを累乗と比較することです。仮定するための番号であるが存在し、この手段およびのためにたびに $f$ $x^{-p}$ $p$

\underset{x \to \infty}{lim inf} x^{p} f (x) > 0.

$\liminf_{x\to\infty} x^p f(x)\gt 0.$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

N > 1

$N\gt 1$

x^{p} f (x) \geq ϵ

$x^p f(x) \ge \epsilon$

。我々は、領域への統合を破壊することによって、この不等式を利用することができる

及び

と第2の領域にそれを適用します。

x \in [N, \infty)

$x\in[N,\infty)$

x < N

$x\lt N$

x \geq N

$x \ge N$

\begin{aligned} \int_{0}^{z} x f (x) d x & = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (x^{p} f (x)) d x \\ \geq \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (ϵ) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \frac{ϵ}{2 - p} (z^{2 - p} - N^{2 - p}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^z x f(x) dx &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x f(x) dx \\ &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(x^p f(x)\right) dx \\ &\ge \int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(\epsilon\right) dx \\ &= \int_0^{N} x f(x) dx + \frac{\epsilon}{2-p}\left(z^{2-p} - {N}^{2-p}\right). }$

$p\lt 2$ $z\to\infty$ $p=2$

\int_{N}^{z} x^{1 - 2} (ϵ) d x = ϵ (\log (z) - \log (N)),

$\int_{N}^z x^{1-2} \left(\epsilon\right) dx = \epsilon \left(\log(z) - \log(N)\right),$

これも発散します。

$|x|^pf(x)\to 0$ $p\gt 2$ $E[X]$ $X$ $\alpha\gt 0$ $|X|^\alpha$ $|x|^{p+\alpha}f(x)\to 0$ $p\gt 1$ $\liminf |x|^{p+\alpha}f(x)\gt 0$ $p \le 1$

$a(x)\approx |x|/\sigma_1$ $|x|$ $f$ $|x|$ $x\gt 0$

f (x) \approx \frac{μ_{1} x}{σ_{2} x^{3}} ϕ (\frac{μ_{2} x}{σ_{2} x}) = x^{- 2} \frac{μ_{1}}{σ_{2}} \exp ({(- \frac{μ_{2}}{2 σ_{2}})}^{2}) .

$f(x) \approx \frac{\mu_1 x}{\sigma_2 x^3}\phi\left(\frac{\mu_2 x}{\sigma_2 x}\right) = x^{-2}\frac{\mu_1}{\sigma_2}\exp\left(\left(-\frac{\mu_2}{2\sigma_2}\right)^2\right).$

$x^2 f(x)$

$2$ $p$ $|x|^pf(x)$ $|x|\to\infty$ $p\lt 2$ $f$ $|y|$ $|z|$ $E_{y,z}[f]$ $\log(|y|)$ $\log(|z|)$

— whuber
ソース