分布の瞬間-部分的またはより高い瞬間の使用？

通常、分布の2番目、3番目、4番目のモーメントを使用して特定のプロパティを記述します。部分モーメントまたは4番目よりも高いモーメントは、分布の有用な特性を説明していますか？

distributions moments partial-moments

— エドゥアルダス
ソース

心に留めておくべきではない答えが、一つのことは、より高次のモーメントが必要とすることであるたくさんの最初のSIG-図を得るために多くの観測を。

— 同型

部分的なモーメントを使用している投稿はstats.stackexchange.com/questions/94402/…です。そのため、部分的なモーメントにはある程度の用途があり、おそらくもっと使用できるでしょう。

— kjetil bハルヴォルセン

回答:

少数の数値（2など）の特別な特性は別として、小数モーメントではなく整数モーメントを選択する唯一の本当の理由は利便性です。

より高いモーメントを使用して、尾の挙動を理解できます。例えば、確率変数の中心分散1とsubgaussianテール有する（すなわち、、いくつかの定数のために）場合にのみ $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ すべてのためといくつかの定数。 $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— マーク・メケス
ソース

[sub] gaussian tailに対して指定した結果は正しく見えません。結合した[に従って

]は引用、

のノルムはガウス変数は[]リミット1に超えないだろうが、中心

RVのノルムであり、そのESSのSUPに傾向

ガウス変数の。

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ロナフ

キャッチしてくれてありがとう。RHSの指数を忘れました。現在修正されています。

— マークメッケス

この結果の参照を提供できますか？

— ゲイリー

@Gary：残念ながら、（公開済みまたはオンラインの）参照がわかりません。それは私の分野の民間伝承の一部であり、コースでは綴られていますが、論文では「シンプルで有名」と書かれています。ただし、証明は簡単です。尾の見積もりを考えると、モーメント推定値は部分積分から、次の（すなわち

）とスターリングの公式。モーメント推定値が与えられると、テール推定値は、マルコフの不等式を適用し、

を最適化することにより続きます。

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— マークメッケス

人々が3番目と4番目の瞬間について尋ねるのを聞くと、私は疑わしくなります。人々がトピックを取り上げるときに念頭に置いていることが多い2つの一般的なエラーがあります。私はあなたが必ずしもこれらの間違いを犯していると言っているわけではありませんが、それは頻繁に起こります。

第一に、彼らは、分布は4つの数字に要約できると暗黙のうちに信じているように思えます。彼らは、たった2つの数字では不十分だと疑っていますが、3つまたは4つで十分でしょう。

第二に、現在の統計では最尤法に大きく負けている統計へのモーメントマッチングアプローチに耳を傾けているように聞こえます。

更新：この回答をブログ投稿に拡張しました。

— ジョン・D・クック
ソース

より高いモーメントの使用例（解釈はより良い修飾子）：単変量分布の5番目のモーメントは、テールの非対称性を測定します。

— user603
ソース

しかし、3番目の（中央の）瞬間はより安定した実用的な方法でこれを行いませんか？

— whuber

@Whuber：> 3番目は全体的な非対称性の測定であり、テールの非対称性とは異なります。指数が高いため、5番目の値はテールによってほぼ完全に決定されます。

— user603

@Kwak：意味を明確にしていただきありがとうございます。もちろん、奇妙な瞬間にも同じ反応を適用することができます。非対称性をテールでさらに測定します。

— whuber

@Whuber：>もちろん。ガウス分布のようなフェアテール分布の場合でも、7番目の瞬間までに、すでに最大値と最小値を比較していることに注意してください。

— user603

@Kwak：2つの簡単なフォローアップの質問。必要ない場合は応答する必要はありません。（1）「フェアテール」?? （2）ガウスの最小値と最大値は何ですか？

— whuber