2つのiid正常値の最小値と最大値の分散

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しましょう $X$ そして $Y$ イードになる $\sim Normal(0,1)$

しましょう $A=max(X,Y)$ そして $B=min(X,Y)$

なに $Var(A)$ そして $Var(B)$ ？

シミュレーションから、 $Var(A)=Var(B)$ 約0.70。

これを分析的に取得するにはどうすればよいですか？

self-study variance maximum iid minimum

— user164144
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あなたが自分自身を納得させることができるなら

最高 （ バツ 、 Y ） \overset{d}{=} - 分 （ バツ 、 Y ） 、

$\max(X,Y) \overset{d}{=} -\min(X,Y),$ 次に、両側で分散を取ると、答えが得られます。

他の部分については、おそらく手動で統合する必要があります。

— テイラー
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指定した式は、Var（A）= Var（B）であることを示しており、これにより、式からすでに個々の分散を計算できます。これから0.68が得られますが、これはシミュレーションの答えに十分近いと思います。

V a r (A) + V a r (B) = 2 - \frac{2}{π}

$Var(A)+Var(B)=2-\frac{2}{\pi}$

— user164144 2017

1

また、指定した式が一般にとして保持されることも読みました。明確にするために、XとYの平均が0であるため、-fの負の値は私の場合には関係ありません。

m a x (f) = - m i n (- f)

$max(f)=-min(-f)$

— user164144 2017

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@ user164144はい、そうですが、2番目の部分はそれ以上です。代数、論理、独立性、対称性によってそれぞれ。次に、他の人のために同様のことを行うことができ、cdfが同じであることがわかります。

P (- min (X, Y) \leq a) = P (min (X, Y) \geq - a)

$P(-\min(X,Y)\le a) = P(\min(X,Y)\ge -a)$

= P (X \geq - a, Y \geq - a) = P (X \geq - a) P (Y \geq - a) = P (X \leq a) P (Y \leq a)

$= P(X \ge -a, Y \ge -a) = P(X \ge -a)P(Y \ge -a) = P(X \le a) P(Y \le a)$

— テイラー

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2つ以上のiid法線に一般化する長い道のりを実行すると、MAPLEの積分計算は次のようになります。

$EA^2 =$

2*int(z^2*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

これは1です。

$EA =$

2*int(z*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

これはと同じです。 $1/\sqrt{\pi}$

したがって、Var（A）= 0.68169 ...これは私のシミュレーションと一致します。 $1-1/\pi =$

もちろん、Var（B）は同じです。

— マーク・L・ストーン
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標準化された通常のケースを考えます（一般化するのは簡単なことです）。レッツ。 $Z = \max(X,Y)$

$F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leq z) = P(X\leq z,Y\leq z) = \Phi(z)^2$

したがって、微分によって取得します。 $f_Z(z)$

期待については、次の点に注意してください。

$\frac{d}{dx} \phi(x)\Phi(x) = -x\phi(x)\Phi(x) + \phi(x)^2$

さらに、は、いくつかの定数およびについて、で記述できることに注意してください。そこからあなたはそれを示すことができるはずです $\phi(x)^2$ $a\phi(bx)$ $a$ $b$

$\int x\phi(x)\Phi(x)\,dx={\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(x\sqrt{2})-\phi(x)\Phi(x)+C$
（そうでない場合、微分で表示...）

そして、導関数を取ることで、以前の結果を使用してに到達できるはずです。 $x\phi(x)\Phi(x)$ $E(Z^2)$

少し操作するだけで、そこから期待と分散ができると思います。

— Glen_b-モニカの復活
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