二項尤度の事前Jeffreys

二項確率パラメータジェフリーズプライアーを使用する場合、これは分布を使用することを意味します。 $\theta$ $\theta \sim beta(1/2,1/2)$

Iは、基準の新しいフレームに変換する場合、次いで明確またとして配布されていない分布。 $\phi = \theta^2$ $\phi$ $beta(1/2,1/2)$

私の質問は、Jeffreysが再パラメータ化に対して不変であるという意味です。正直に言うと誤解しているようです...

ベスト、

ベン

bayesian jeffreys-prior

— ben18785
ソース

ジェフリーズの事前は、1つのパラメーター化のためにジェフリーズの事前から開始し、変数の適切な変更を実行することが、この新しいパラメーター化のために直接ジェフリーズを導出することと同じであるという意味で不変です。実は、equivariantは、以上の用語を適切でしょう不変。

— 西安

@ ben18785：stats.stackexchange.com/questions/38962/をご覧ください…

— Zen

math.stackexchange.com/questions/210607/…も参照してください（多かれ少なかれ同じ質問ですが、別のサイトにあります）。

— ナサニエル

stats.stackexchange.com/questions/139001/…

— Christoph

有することができ、の単調関数でとletの逆であるように、。ジェフリーの事前分布は、次の2つの方法で取得できます。 $\phi = g(\theta)$ $g$ $\theta$ $h$ $g$ $\theta = h(\phi)$ $p_{J}(\phi)$

二項モデル（1）でモデルを再パラメータ得るためにそして、このモデルのジェフリーの事前分布を取得します。 $p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}$ $\begin{equation} \label{original} p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y} \end{equation}$ $\phi = g(\theta)$ $p (y | ϕ) = (\binom{n}{y}) h (ϕ)^{y} (1 - h (ϕ))^{n - y}$ $p(y | \phi) = \binom{n}{y} h(\phi)^{y} (1-h(\phi))^{n-y}$ $p_{J}(\phi)$
元の二項モデル1からジェフリーの事前分布を取得し、変数の変更式を適用して、 $p_{J}(\theta)$ $\phi$ $p_{J} (ϕ) = p_{J} (h (ϕ)) | \frac{d h}{d ϕ} | .$ $p_{J}(\phi) = p_{J}(h(\phi)) |\frac{dh}{d\phi}|.$

パラメータ再設定に対して不変であることは、両方の方法で導出された密度が同じであることを意味します。ジェフリーの事前にはこの特徴があります[参考：P.ホフによるベイズ統計手法の最初のコース ]。 $p_{J}(\phi)$

あなたのコメントに答えるため。二項モデルの尤度からジェフリーの事前分布を取得するには尤度対数を取ることでフィッシャー情報を計算し、 2次導関数を計算する必要がありますおよびフィッシャー情報は $p_{J}(\theta)$

p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}

$p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y}$

l

$l$

l

$l$

\begin{aligned} l := \log (p (y | θ)) & \propto y \log (θ) + (n - y) \log (1 - θ) \\ \frac{\partial l}{\partial θ} & = \frac{y}{θ} - \frac{n - y}{1 - θ} \\ \frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} & = - \frac{y}{θ^{2}} - \frac{n - y}{(1 - θ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} l := \log(p(y | \theta)) &\propto y \log(\theta) + (n-y) \log(1-\theta) \\ \frac{\partial l }{\partial \theta} &= \frac{y}{\theta} - \frac{n-y}{1-\theta} \\ \frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} &= -\frac{y}{\theta^{2}} - \frac{n-y}{ (1-\theta)^{2} } \end{align*}$

\begin{aligned} I (θ) & = - E (\frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} | θ) \\ = \frac{n θ}{θ^{2}} + \frac{n - n θ}{(1 - θ)^{2}} \\ = \frac{n}{θ (1 - θ)} \\ \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} I(\theta) &= -E(\frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} | \theta) \\ &= \frac{n\theta}{\theta^{2}} + \frac{n - n \theta}{(1-\theta)^{2}} \\ &= \frac{n}{\theta ( 1- \theta)} \\ &\propto \theta^{-1} (1-\theta)^{-1}. \end{align*}$ このモデルに対するジェフリーの事前はこれはです。

\begin{aligned} p_{J} (θ) & = \sqrt{I (θ)} \\ \propto θ^{- 1 / 2} (1 - θ)^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align*} p_{J}(\theta) &= \sqrt{I(\theta)} \\ &\propto \theta^{-1/2} (1-\theta)^{-1/2} \end{align*}$

beta (1 / 2, 1 / 2)

$\texttt{beta}(1/2, 1/2)$

— マルコ・ラロビッチ
ソース

ご回答有難うございます。私は少し遅いのではないかと心配しています。どのような意味で、可能性から事前確率を取得できますか？それらは2つの別個のものであり、後者は前者を意味しません...

— ben18785

私は、二項モデルの可能性からジェフリーの以前のを取得することにより、上記で答えました。

p_{J} (θ)

$p_{J}(\theta)$

— MarkoLalović2017