推定量が不偏であることを証明した場合、それはパラメーター推定量が不偏であることを証明しますか？

LETのPDF有するIIDランダム変数である、、及び。$X_i$$f(\mathbf{x}|\theta)$$E(X_i) = 6\theta^2$$\theta > 0$

Iパラメータ（のための推定計算したの）あることを。これが不偏推定量であることを証明するには、であることを証明する必要があります。ただし、であるため、$\theta$$f(\mathbf{x}|\theta)$$\hat{\theta} = \sqrt{\bar{x}/6}$$E(\hat{\theta}) = E\left(\sqrt{\bar{x}/6}\right)$$\hat{\theta}^2 = \bar{x}/6$

一般的に、証明証明と同じではないため、またあり得る。ただし、この場合はです。$x^2 =4$$x=2$$x$$-2$$\theta>0$

私はが不偏であることを示しましたが、これはが不偏であることを示すのに十分ですか？$\hat{\theta}^2$$\hat{\theta}$

セイために公平である、すなわち、その理由はジェンセンの不等式の、$Q$$\theta^2$$E(Q) = \theta^2$

したがって、は高くバイアスされます。つまり、平均してを過大評価します。$\sqrt{Q}$$\theta$

注：これは、厳密な不等式が（つまり、あるない）ので、縮退ランダム変数ではなく、平方根がアフィン変換ではありません。$<$$\leq$$Q$

である推定量（二次モーメントが有限）について場合のみ（これは簡単に確認できません）。$E(\widehat{\theta^2}) - E(\hat\theta)^2$ $=$ $\text{Var}(\hat\theta)\geq 0$$\text{Var}(\hat\theta)=0$

不偏性の結果を使用して、その不等式のLHSの最初の項を置き換え、次にと両方が正であることを使用して、が偏っていて、あなたが思っているように偏っていません。（より一般的には、ジェンセンの不等式を適用できますが、ここでは必要ありません）$\widehat{\theta^2}$$\theta$$\hat \theta$$\hat \theta$

この証明は問題の詳細とは関係がないことに注意してください。非負のパラメーターの非負の推定量の場合、その二乗がパラメーターの二乗に対して不偏である場合、推定量自体は、推定量の分散はです。$0$