が静止している場合、

Iは、IFと言うたARCHモデルの特性のいずれかの証拠出くわし、次いで、{ Xのtは }静止IFFあるΣ P iは= 1、B I < 1 ARCHモデルです。$\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

証明の主なアイデアは、がAR（p）プロセスとして記述でき、∑ p i = 1 b i < 1が真である場合、特性多項式のすべての根が単位円の外側にあり、したがって、{ X 2 t }は静止しています。そして、それゆえ{ X t }は静止していると言います。これはどのように続きますか？$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

与えられたセクションから、私はあなたがその定常表示される場合があります方法を理解の定常意味Xのトンを実際それだけの一定の分散を意味Xのトンを。$X^2_t$$X_t$ $X_t$

その証明の著者は、定常性を使用して、X tの無条件の瞬間を見て、以前に開始した議論を完成させました。$X^2_t$$X_t$

次の定常性条件を思い出してください。$2^{nd}$

1. ∀ T ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ T ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ H ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

条件1は、E （X t）= E （E （X t | F t − 1））= 0によって証明されました。$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

条件3は、によって証明された$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

しかし、2番目の条件を証明するには、X tの一定の無条件分散を証明する必要がありました。$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

これは、あなたが言及した定常性の仮定に導くもので、そのA R （p ）形式を使用します。簡単に言うと、 V a r （X t）= E （V a r （X t）| F t − 1）+ V a r （E （X t | F t − 1））= E （$X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$