どの二項予測区間がテール確率に適しているか、つまり

私は以下の性質を持つ問題に取り組んでいます。

• 利用可能なデータは多数ありますオーダー$x$$10^6$
• CDFは、非負の実数をサポートしています。$F_X$
• ません。$F_X$
• データはiidであると想定できます。
• から抽出された将来のサンプルがサンプルの最小値下回る確率を推定しようとしています。要点は、この確率を特定の値未満に保つことです$F_X$$x_{(1)}$$\alpha.$

信頼区間に関心がある場合、アプローチは値を選択し（は負でないサポートを持っているため）、場合、CLT、カゼッラ、ジェフリーズ、アグレスティ、またはその他の多くの方法を適用するなど、いくつかのオプションのいずれかを使用して、左裾の 2項信頼区間を導出します。$k>0$$x$$\hat{F_X}(k)=\hat{p}=\frac{\#(x_i\le k)}{n}$

これは、特にため、大きなと小さなは脆弱に見えます。さらに、私の場合、将来の観測の予測区間を推定しています。これらの状況でうまく機能する二項予測間隔はありますか？$n$$k$$k=x_{(1)}$

ベイジアンアプローチは直接推定し、そこから機能します。これは、この問題の狭い範囲に厳密に必要なものよりも難しいようです。$F$

「いや、人生は不公平であり、この問題の良い解決策はありません」という答えは、それに添えるいい引用がある場合にも役立ちます。

単純なノンパラメトリック予測制限があります。 予測限界は2つの独立したサンプルで構成される手順であることを思い出してください。$\mathcal{X}=x_1,\ldots, x_n$ そして $\mathcal{Y}=y_1, \ldots, y_m$、2つの統計$t$ そして $s$、サイズ $1-\alpha$。その機会は$s(\mathcal{Y})$ よりも少ない $t(\mathcal{X})$ です $\alpha$ 以下、私たちはそれを言います $t$の一方的な予測下限です$s$ サイズの $1-\alpha$。問題のPLは、$x_i$ ために $t(\mathcal{X})$。これは、ことが意図されているすべての$y_j$高い確率でPLと同じかそれを超える必要があります。同様に、$s(\mathcal{Y})$ すべての最小です $y_j$。

このPLは、 $n$ 観測は独立しており、同じように分散され、 $m$ 追加の観測もiidであり、最初の観測から独立しています $n$観察。これらの仮定はすべてを意味します$n+m$ 観測値は交換可能です。これは、（簡単に）最初の観測値の中ですべての観測値が最小であることを意味します $n$ 少なくとも確率で $n/(n+m)$。サイズは、最小値に関連付けられたすべての観測値の（少なくとも）1つが$n$ の値 $\mathcal{X}$。このチャンスは少なくない$n/(n+m)$。共通の基礎となる分布が継続的である場合、それは正確に$n/(n+m)$。

たとえば、最小のもの $n=95$ 値は $95\%$ 予測下限 $m=5$追加の値。最小のもの$n=10^6$ 値は $50\%$ 予測下限 $m=10^6$ 追加の値。

同様の考慮事項（より高度な組み合わせを必要とする）を使用して、注文統計量qua予測限界のカバレッジを計算します。概要については、Hahn＆Meekerのセクション5.4を参照してください（少なくとも、$k$ の $m$ 将来の観察。」）

参照

ジェラルド・J・ハーンとウィリアム・Q・ミーカー、統計的間隔、実践者向けガイド。 J.ワイリー＆サンズ、1991年。