最尤法とモーメント法が同じ推定量を生成するのはいつですか？

先日、私はこの質問をされましたが、これまで考えたことはありませんでした。

私の直感は、各推定量の利点から来ています。最尤法は、モーメントの方法とは異なり、分布全体の知識を利用するため、データ生成プロセスに自信がある場合に可能です。MoM推定器はモーメントに含まれる情報のみを使用するため、推定しようとしているパラメーターの十分な統計がデータのモーメントである場合、2つの方法は同じ推定値を生成するようです。

いくつかの分布でこの結果を確認しました。正規（未知の平均と分散）、指数、およびポアソンはすべて、それらのモーメントに等しい十分な統計を持ち、MLEとMoM推定器は同じです（複数のMoM推定器があるポアソンのようなものには厳密に当てはまりません）。私たちは制服を見てみると、のための十分統計であるとMOMとMLE推定器は異なっています。$(0,\theta)$$\theta$$\max(X_1,\cdots,X_N)$

多分これは指数族の奇癖だと思ったが、平均値が既知のラプラスの場合、十分な統計は$\frac{1}{n} \sum |X_i|$分散のMLEとMoM推定量が等しくありません。

これまでのところ、一般的な結果を表示することはできませんでした。誰もが一般的な条件を知っていますか？または、反例でも直観を磨くのに役立ちます。

一般的な答えは、モーメント法に基づく推定量はパラメータ化の全単射的変化によって不変ではないが、最尤推定量は不変であるということです。したがって、それらはほとんど決して一致しません。（考えられるすべての変換にわたってほとんど決してありません。）

さらに、質問で述べたように、多くのMoM推定量があります。実際、それらの無限大。しかし、これらはすべて経験的分布に基づいています。これは、ノンパラメトリックMLEと見なされる場合がありますが、これは質問とは関係ありません。$\hat{F}$$F$

実際、質問を組み立てるより適切な方法は、モーメント推定器が十分であるかどうかを尋ねることですが、これにより、データの分布は、Pitman-Koopman補題によって、指数ファミリーからのものになります。知られています。

注：平均がわかっている場合、ラプラス分布では、問題は絶対値を観察することと等価です。絶対値は指数変量であり、指数族の一部です。