逆誕生日問題：100万人の宇宙人のうち、ペアが誕生日を共有することはありません。彼らの年の長さは何ですか？

非常に長い $N$ 日の惑星を想定します。部屋のパーティーには100万人の外国人がいて、誕生日を共有する人はいません。のサイズについて何が推測できますか？ $N$

（このよりコンパクトな質問は、この不適切なフレーズの質問に取って代わります。）

probability birthday-paradox

誕生日の問題は、少なくとも1回の一致の確率が指定された値より大きいNの値を示します。p = 1/2のとき、これがn = 23を与えることは直感的に驚くべきことです。不均一性はnを小さくするだけです。さて、あなたの問題では、Nが365を置き換えているように見えます。

— Michael R. Chernick

N <= 1,000,000の場合、少なくとも1つの一致には確率= 1があり、0の一致には確率= 0があります。

— Michael R.Chernick

したがって、N> 1,000,000の場合、少なくとも1つの一致の確率の確率は<1であり、したがってゼロの一致の確率は増加し始めます。

— Michael R. Chernick

@Michael明確化の要求やその他の付随的な議論のためにコメントを予約し、一度に1つだけ投稿するようにしてください。文字数制限には十分な理由があります。複数のコメントを必要とする重要なことについて話し合っている場合は、おそらく質問に答えようとしているので、答えを投稿することもできます。

— whuber

すべての誕生日が等しく可能性があり、誕生日が独立していると仮定すると、エイリアンが誕生日を共有しない可能性は $k+1$

p (k; N) = 1 (1 - \frac{1}{N}) (1 - \frac{2}{N}) \dots (1 - \frac{k}{N}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

その対数は、がよりはるかに小さい場合、漸近的に合計できます。 $k$ $N$

\begin{matrix} (1) & \log (p (k; N)) = - \frac{k (k + 1)}{2 N} - \frac{k + 3 k^{2} + 2 k^{3}}{12 N^{2}} - O (k^{4} N^{- 3}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

ようにするには、と確信劣らず、いくつかの値よりもされていない、私たちに必要なよりも大きくなるように。小さなは、確保よりはるかに大きい我々は近似できるそこから、正確よう。これは $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 N} > \log (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

意味する

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 \log (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = N^{*} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

小さな。 $\alpha$

たとえば、質問のようにで、（信頼度に対応する従来の値）の場合、はを与えます。 $k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ $N \gt 10^{13}$

これは、この結果のより広範な解釈です。式で近似しないと、ます。このため万人の誕生日でない衝突の可能性がある（近似せずに計算された）、本質的に私達の閾値に等しい。したがって、これ以上大きい場合、 $(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ または、衝突が発生しない可能性が高く、これは私たちが知っていることと一致しますが、が小さくなると、衝突の可能性は、を過小評価しているのではないかと恐れるようになります。 $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$ ます。

別の例として、伝統的な誕生日の問題である無衝突の機会人と内のない衝突の機会人が。これらの数値は、が正しい値の範囲でそれぞれおよびを超える必要があることを示唆しています。これは、これらの近似的な漸近的な結果が非常に小さい（小さい固執している場合）でも正確であることを示しています。 $4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— whuber
ソース

私はこのような答えを出す準備ができていませんでした。数値を使用すると、この大きな近似は計算が簡単になる場合があります。ウィキペディアは、k人（エイリアン）のNの近似と限界を示す一般化された誕生日問題を提供します。私はあなたの最初の方程式と同じ式を持っていました。

— Michael R.Chernick

私の質問は、Nが100％の信頼度に到達するためにどれくらいの大きさでなければならないかということです。10 ^ 18くらいかな。

— Michael R.Chernick

@MichaelChernick 100％の信頼でNは無限大になります。任意の有限年と2人の以上の外国人との任意のパーティーのために、同じ誕生日を持つ2人の外国人の確率は常に0よりも大きい

— ペール

@Pereはい、それを見てくれてありがとう。すぐに修正します。それはポストの他の部分に違いはありませんでした。

— whuber

@Paul Uszak Pereの回答（現在は削除済み）に関するコメントは厳しすぎると思います。彼の答えは誠実に与えられたと思います。彼は有用な概算を提供することによってあなたに役立つことを試みていました。彼は後にwhuberの回答を見て、より完全であると判断し、彼の回答を削除することに同意しました。詳細な回答を期待しないという彼のコメントは、あなたがそれを解釈する方法を意味するものではありませんでした。これは難しい問題です。あなたもそれを理解できるようにするために投稿を書き直さなければなりませんでした。彼はこのような問題を冗談として解決しないと思います。

— Michael R.Chernick