数学的統計（モーメントと中心モーメント）

もし（必ずしも整数ではない）、その証明する方法生モーメントがあれば存在した場合にのみ中心モーメントが存在？いくつかの不平等を適用する必要があると思いますが、それを理解することができません。 $r \ge 1$ $r^\text{th}$ $r^\text{th}$

mathematical-statistics

— シエダ
ソース

自習タグを追加して、そのwikiを読んでください。

— kjetil b halvorsen 2016

実数および 2つの顕著なプロパティは次のとおりです。 $x, y,$ $\mu$

三角形の不等式と
$| x - μ | \leq | x | + | μ |$ $|x-\mu| \le |x|+|\mu|$ $| x | \leq | x - μ | + | μ | .$ $|x| \le |x-\mu| + |\mu|.$
の乗にすると、順序が保持されます：および（したがって） $r$ $r \gt 0$
$| x | \leq | y | implies | x |^{r} \leq | y |^{r}$ $|x| \le |y| \text{ implies } |x|^r \le |y|^r$ $max (| x |^{r}, | y |^{r}) = max (| x |, | y |)^{r} .$ $\max(|x|^r, |y|^r) = \max(|x|,|y|)^r.$

また、単純な関係にも注意してください

| x | + | y | \leq 2 max (| x |, | y |) .

$|x| + |y| \le 2\max(|x|, |y|).$

したがって、任意の確率変数と実数に対して、 $X$ $\mu$

| X - μ |^{r} \leq {(| X | + | μ |)}^{r} \leq {(2 max (| X |, | μ |))}^{r} = 2^{r} max (| X |^{r}, | μ |^{r})

$|X-\mu|^r \le \left(|X| + |\mu|\right)^r \le \left(2\max\left(|X|, |\mu|\right)\right)^r = 2^r\max\left(|X|^r, |\mu|^r\right)$

そして

| X |^{r} \leq {(| X - μ | + | μ |)}^{r} \leq \dots \leq 2^{r} max (| X - μ |^{r}, | μ |^{r}) .

$|X|^r \le \left(|X-\mu| + |\mu|\right)^r \le \cdots \le 2^r\max\left(|X-\mu|^r, |\mu|^r\right).$

まかせと期待を取ることはあなたが必要な不平等を確立します。 $\mu = \mathbb{E}(X)$

— whuber
ソース

RHSには2 ^ rが含まれているので、それを削除すると、RHSはLHSよりも小さく/大きくなる可能性があります。これについてもう少し説明してください。

— Antora 2016

ある瞬間の有限性が他の瞬間の有限性を暗示することを示す必要があるだけで、一方が他方よりも実際に小さいということではありません。

— whuber