モーメントを使用して分布が対称であることを証明

与えられた確率変数Xの平均値、分散、および4番目の中心モーメントはそれぞれ0、2、4です。さて、どうすればそれを証明できますか

（1）三次モーメントは0

（2）分布は0について対称であり、

（3）Xは有界です。

上記の情報を使用して、私が見つけることができた唯一の事柄は、分布がplatykurticであることでした。三次モーメントがゼロであることが証明されたとしても、これはどのようにして対称性につながるのでしょうか。データをプロットするだけでは対称性を証明できないのですか？

質問に間違いはありますか？

機能が

$$\phi_Y: n \to \mathbb{E}(|Y|^n)^{1/n},\ n \gt 0$$

（として知られています $L_n$ の規範 $Y$）は減少していません。https://stats.stackexchange.com/a/244221のデモでは、Jensenの不等式を使用しています（厳密に凸関数に適用される場合）。その不等式はいつでも厳密な不等式です$|Y|$ 正の確率で複数の値をとることができます。

させる $Y=X - \bar X$ 中心のバージョンになる $X$、与えられた分散の値と4番目（中央）のモーメントから

$$\mathbb{E}(|Y|^4)^{1/4} = 4^{1/4} = \sqrt{2} = \operatorname{Var}(X)^{1/2} = \mathbb{E}(|Y|^2)^{1/2},$$

示す $\phi_Y(4) = \phi_Y(2)$。したがって、$\phi$ 減少していない、 $|Y|$ ほぼ確実に一定である $X$ 最大2つの異なる値を取ることができます $\bar X \pm \sqrt{2}$（ほぼ確実に）。それはすぐです$X$ これらの値のそれぞれを等しい確率で受け取ります。つまり、 $X$ ベルヌーイのシフトバージョンである必要があります$(1/2)$ スケーリングされた変数 $\sqrt{8}$。

（1）（ゼロ三次モーメント）、（2）のデモンストレーション $0$）、および（3）（有界性）はささいなことです。

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2つの瞬間があるときはいつでも同じ結論が導き出されることに注意してください。 $k \ne n$ そのため $\phi_Y(k)=\phi_Y(n)$。

これが1つのアプローチです。これが答える$a$ 、 多分 $b$、そしてうまくいけば $c$。

私たちが知っていることの要約： $E[X]=0$、 $E[X^2]=\mbox{Var}(X)=2$ そして $E[X^4]=4$。しましょう$m_i:=E[X^i]$。確率分布のモーメントは、適切な値であるという意味で、正定性を満たさなければなりません。$n\times n$ハンケルモーメント行列のサブ行列は正定です：

$$H:=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right)$$ 。

ピッキング $n=3$ 私たちに与える：

$$H_4=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ m_2 & m_3 & m_4 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_3 \\ 2 & m_3 & 4 \\ \end{matrix}\right),$$

簡単な手計算により、 $\mbox{det}(H_4)=-m_3^2$。以来$H_4$ 正定でなければなりません、それはそれに従います $m_3=0$。

それを示すために $X$は0に関して対称です。すべての奇数のモーメントが0であることを示すだけで十分です。ハンケルの部分行列について帰納法でこれを示すことができると思います。

それを示すために $X$ 限界があります、私が持っていた考えは次の同等物です：

$$P(|X|\leq R)=1 \Leftrightarrow E[|X|^k]\leq R^k, k=1,2,\cdots .$$

ハンケル行列からこれを示すことができるでしょうか？