2つのランダム変数の分布を同じにすることはできますが、ほぼ確実に異なりますか？

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2つのランダム変数の分布が同じであるにもかかわらず、ほぼ確実に異なる可能性はありますか？

distributions probability

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レッツと定義。であることを証明するのは簡単です。 $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

しかし、

P {ω ： バツ （ ω ） = Y （ ω ）} = P {ω ： バツ （ ω ） = 0 、 Y （ ω ） = 0} \leq P {ω ： バツ （ ω ） = 0} = 0 。

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

したがって、とは確率1で異なります。 $X$ $Y$

— 禅
ソース

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この同じトリックは、より一般的に機能し、最初に対象に遭遇した人に「表示」されやすい場合でも機能します。例えば、検討するおよびあること、成功の確率でベルヌーイ確率変数である。

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

— 枢機

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同じ連続分布を持つ独立したランダム変数と任意のペアは反例を提供します。 $X$ $Y$

実際、同じ分布を持つ2つの確率変数は、必ずしも同じ確率空間で定義されているわけではないため、一般的には問題になりません。

— ステファン・ローラン
ソース

3

（+1）特に、2番目のポイントは重要なポイントであり、一度理解すると、関係する2つの概念の違いを解明するのに役立ちます。

— 枢機

-1

ちょうど考えるとと $X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ ボレルやルベーグ測度を有します。両方の累積確率はあり、確率分布はです。合計、分布はでのディラック単位質量です。 $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

— RRBaldino
ソース

当サイトへようこそ。あなたの投稿がこのスレッドの質問に答える意味を明確にし、それがZenによって与えられた答え（およびその答えに対する@Cardinalによるコメント）とどのように異なるかを示してください。

— whuber