単変量指数HawkesプロセスのMLEを見つける

単変量の指数関数的ホークスプロセスは、イベント到着率が次の自己励起ポイントプロセスです。

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

ここで、はイベント到着時間です。$t_1,..t_n$

対数尤度関数は

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

再帰的に計算できます：

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

MLEを見つけるためにどのような数値的方法を使用できますか？実装する最も簡単で実用的な方法は何ですか？

Nelder-Meadシンプレックスアルゴリズムはうまく機能しているようです。これは、https： //commons.apache.org/math/のApache Commons MathライブラリによってJavaで実装されています。また、多変量高周波不規則間隔データのポイントプロセスモデルでホークスプロセスに関する論文を執筆しました。

felix、exp / log変換を使用すると、パラメーターの陽性が保証されるようです。小さなアルファについては、arxiv.orgで「ほぼ不安定なホークスプロセスの定理を制限する」という論文を検索してください。

nloptライブラリを使用してこの問題を解決しました。多くの方法が非常に早く収束することがわかりました。

単純な最大化を行うこともできます。Rで：

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)