自然対数の変化がパーセンテージの変化であるのはなぜですか？これを行うログについてはどうですか？

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誰かがログのプロパティがどのようにそれを作成するのかを説明して、係数が変化率として解釈されるログ線形回帰を行うことができますか？

regression logarithm mathematical-statistics

— 白衣
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l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ 、およびは1 +変化率です。

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

X1を基準にして方程式を微分すると、シリーズ式を考慮するよりも質問によく答えることができると思います。

— チャールズ

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ためと互いに近接、パーセント変化ログ差を近似。 $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

なぜパーセントの変化は対数差に近いのですか？

計算からのアイデアは、線で滑らかな関数を近似できるということです。線形近似は、単にテイラー級数の最初の2つの項です。周りのの1次のテイラー展開は、次の式で与えられます。 $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$

右側は整理されます。

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

そうするために 1の近傍に、我々は近似できる線を有するの下のグラフで及び。 $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

例：。 $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

ここで、となる2つの変数および考えます。その場合、ログの差はおおよそ変化率です。 $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

変化率は、対数差の線形近似です！

違いを記録する理由

多くの場合、変化率を複合化するという観点から考えている場合、数学的に簡潔な概念は、ログの違いの観点から考えることです。用語を繰り返し乗算する場合、ログで作業し、代わりに用語を追加する方が便利な場合がよくあります。

時間富が次のように与えられるとしましょう：それから、次のように書く方が便利かもしれません：ここで、。 $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

変化率とログの差はどこで同じではありませんか？

大きなパーセント変化の場合、曲線をライン近似するとからさらに悪化するため、対数差はパーセント変化と同じではありません。例えば： $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

この場合のログの違いは何ですか？

それについて考える1つの方法は、.47のログの違いは、47の異なる.01ログの違いの累積に相当することです。

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

次に、両側を累乗して取得します：

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

.47の対数差は、47の異なる1％の増加とほぼ同等であり、さらに良いことに、470の異なる.1％の増加はすべての複合などです。

ここでの回答のいくつかは、このアイデアをより明確にします。

— マシュー・ガン
ソース

+1、この回答の計画された継続が、近似が破綻する条件を議論することを期待して。

— whuber

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+1。マイナーポイントを追加するには、1.6〜1は37.5％の減少、1〜1.6は60％の増加、対数差0.47は変化の方向に依存せず、常に0.375〜0.6の間です。変化の方向がわからない場合、または気にしない場合は、変化の割合が大きい場合でも、ログの差は2パーセントの変化の平均を取る代わりになる可能性があります。

— ポール

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これがダミーのバージョンです...

$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

$\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

パーセンテージの変化に対する影響を確認するには、指数を使用できます。 $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ は相対的な変化であり、から、パーセンテージの変化。 $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

質問に答える鍵は、の小さな値に対してを。これは、Taylor展開の最初の2つの項の同じ使用に相当します。 Matthewが使用しましたが、（Maclaurin series）の今回は対数ではなく指数で作業しているため、ゼロで評価されました： $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

または、変数としてを使用します。 $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

したがって、ゼロの周りの（テイラー級数を行ったときにゼロでの多項式展開を評価しました）。視覚的に、 $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— アントニ・パレラダ
ソース

あなたの答えは非常に明確です：対数差をパーセンテージ変化として解釈できるようにするには小さな係数が必要ですが、@aksakalの答えは小さな変化（すなわちlim Δx --> 0）だけが必要であることを示しています。この2つがどのように同等であるか説明してください。

— towi_parallelism

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\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

$b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

$y$

d y = B d x

$dy=B dx$

$dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— アクサカル
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$r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

$n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

両側の対数を取ると。これは、初期投資に対する最終投資の比率の対数が連続複利であることを意味します。この結果から、時系列の結果の対数の違いは、変化の割合を継続的に悪化させるものとして解釈できることがわかります。（この解釈はaksakalの答えによっても正当化されますが、現在の作業はそれを見る別の方法を提供します。） $r = \ln I(\infty)$

— モニカを復活させる
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