統計学者がランダム行列を定義したのはなぜですか？

私は10年前に数学を勉強したので、数学と統計のバックグラウンドを持っていますが、この質問は私を殺します。

この質問は私にとってはまだ少し哲学的です。統計学者がランダム行列を扱うために、あらゆる種類の手法を開発したのはなぜですか？つまり、ランダムなベクトルは問題を解決しなかったのですか？そうでない場合、ランダム行列の異なる列の平均は何ですか？Anderson（2003、Wiley）は、ランダムベクトルを1列のみのランダムマトリックスの特殊なケースと見なしています。

ランダム行列を持つことのポイントがわかりません（そして、それは私が無知だからだと確信しています）。しかし、私と一緒に耐えます。20個のランダム変数を持つモデルがあるとします。結合確率関数を計算したい場合、なぜそれらをベクトルではなく行列として描く必要があるのですか？

私は何が欠けていますか？

ps：タグ付けが不十分な質問は申し訳ありませんが、ランダム行列のタグはなく、まだ作成できません！

編集：タイトルのマトリックスをマトリックスに変更

それはあなたがどの分野にいるかによって異なりますが、ランダム行列の研究に対する最初の大きな推進力の1つは原子物理学から生まれ、ウィグナーによって開拓されました。ここで簡単な概要を見つけることができます。具体的には、ランダム値の固有値（原子物理学のエネルギーレベル）が、関心のあるトンを生成しました。これは、固有値間の相関関係が核崩壊プロセスの発光スペクトルに対する洞察を与えたためです。

最近では、ランダムな行列の最大固有値のTracy-Widom分布が出現し、タイル理論、統計物理学、積分などの見かけ上無関係なフィールドへの驚くべき接続とともに、この分野で大きな復活がありましたシステム、KPZ現象、ランダム組み合わせ論、そしてリーマン仮説さえ。ここにいくつかの例があります。

より現実的な例については、行ベクトルのマトリックスについて尋ねる自然な質問は、そのPCAコンポーネントがどのように見えるかです。データが何らかの分布に由来すると仮定し、ランダムな行列の普遍性から予測される共分散行列の固有値を調べることにより、これのヒューリスティックな推定を得ることができます：ベクトルの分布に関係なく（理由なしで）固有値は常に既知のクラスのセットに近づきます。これは、ランダム行列の一種のCLTと考えることができます。例については、このペーパーを参照してください。

あなたはランダムなベクトルのアプリケーションに慣れているようです。たとえば、私は毎日この種のランダムなベクトル、つまり異なるテナーの金利を扱っています。連邦準備銀行にはH15シリーズがあり、4週間、3か月、6か月、1年の財務省証券をご覧ください。これらの4つのレートは、4つの要素を持つベクトルと考えることができます。ランダムも必要です。下のプロットの履歴値を見てください。

乱数と同様に、私たちは自分自身に尋ねるかもしれません：それらの間の共分散は何ですか？これで、4x4の共分散行列が得られます。1か月の日次データで推定すると、重複しないようにしたい場合は、毎年12種類の共分散行列が得られます。ランダムな系列のサンプル共分散行列は、それ自体がランダムなオブジェクトです。Wishartの論文「標準的な多変量集団からのサンプルにおける一般化された製品モーメント分布」を参照してください。こちら。彼にちなんで呼ばれるディストリビューションがあります。

これは、ランダム行列を取得する1つの方法です。ご覧のとおり、金融でランダムマトリックス理論（RMT）が使用されているのも不思議ではありません。

理論物理学では、ランダム行列は特定の対称性を持つシステムのエネルギースペクトルの普遍的な特徴を理解するために重要な役割を果たします。

理論物理学の私の背景により、ここで少し偏った視点を提示することがありますが、ランダムマトリックス理論（RMT）の人気は物理学での成功した応用に由来することを示唆するまでです。

あまり詳細に説明しなくても、たとえば、量子力学のエネルギースペクトルは、ハミルトニアンシステムの固有値を計算することで取得できます。これは、エルミート行列として表現できます。多くの場合、物理学者は特定のシステムに興味がありませんが、カオス特性を持つ量子システムの一般的な特性は何かを知りたいと考えています。例：境界条件）。これにより、物理システムのクラスをランダムな行列として扱い、これらのシステムの平均的な特性を調べることができます。もっと深く掘り下げたい場合は、Bohigas-Gianonni-Schmidt予想に関する文献をお勧めします。

要するに、たとえば、時間反転対称性を持つシステムのエネルギーレベルは、時間反転対称性がないシステムのエネルギーレベルとは普遍的に異なる振る舞いを示すことができます（たとえば、磁場を追加すると発生します）。実際、ガウスランダムマトリックスを使用した非常に短い計算は、両方のシステムでエネルギーレベルが異なるように近い傾向があることを示しています。

これらの結果は、粒子物理学やメゾスコピック輸送の理論、さらには金融市場など、さまざまな分野に大きな影響を与えた他の対称性を理解するのにも役立ちます。

線形マップは、ベクトル空間間のマップです。線形マップがあり、そのドメインおよび範囲空間のベースを選択したとします。次に、線形マップをエンコードする行列を記述できます。これら2つの空間間のランダム線形マップを検討する場合は、ランダム行列の理論を考え出す必要があります。 ランダム投影は、そのようなことの簡単な例です。

また、物理学にはマトリックス/テンソル値のオブジェクトがあります。粘性応力テンソルは（真の動物園のうちの）このようなものです。ほぼ均一な粘弾性材料では、ひずみ（弾性、粘性など）をモデル化することで、分散が小さいランダムテンソルとして応力を点ごとにモデル化するのに役立ちます。このストレス/ひずみには「線形マップ」の意味がありますが、このランダムマトリックスの適用を、既にマトリックスであったものをランダム化するものとして説明する方がより正直です。

画像処理のアプリケーションとしての圧縮センシングは、2D信号の測定値を組み合わせたランダムマトリックスに依存しています。これらの行列の特定のプロパティ、つまりコヒーレンスは、これらの行列に対して定義され、理論で役割を果たします。

大幅に簡略化されているため、ガウス行列とスパース入力信号の特定の積のL1ノルムを最小化すると、予想よりもはるかに多くの情報を復元できることがわかります。

私が知っているこの分野で最も注目すべき初期の研究は、ライス大学の研究です：http : //dsp.rice.edu/research/compressive-sensing/random-matrices

「信号の測定」としての行列積の理論は、少なくともWW2にまでさかのぼります。私の元教授が私に語ったように、たとえば梅毒についてすべての軍隊の入隊者を個別にテストすることは、法外な費用がかかりました。これらのサンプルを体系的に混合する（各血液サンプルの一部を一緒に混合してテストする）ことで、テストを実行する必要がある回数を減らすことができます。これは、スパース行列を掛けたランダムなバイナリベクトルとしてモデル化できます。