三角分布のパラメーター推定

密度のある三角分布のパラメーターの推定に関する質問がここに投稿されました（現在は削除されています）。

$$f(x;a,b,c)=\begin{cases} \quad 0 & \text{for } x < a, \\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \le x \le c, \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{for } c < x \le b, \\\quad 0 & \text{for } b < x. \end{cases}$$

しかし、質問は尋ねる価値があるので、私はそれを自分で尋ねています。

この分布のパラメーターを推定する良い方法は何ですか？

MLEの議論は良いですが、他の推定者は実りある答えを出すことができます。

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注1：PERTに関連する多くの文書が使用するように見える及びを推定するとのためのモーメントと、次いで（与えられた）使用方法。このアプローチを特に提唱する場合、効率性についての議論が最も役立ちますが、少なくとも何らかの選択の理由（またはそれに類似した理由）が重要になります。$X_{(1)}$$X_{(n)}$$a$$b$$c$

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注2：

[おそらくこれが回答の始まりになるはずですが、ここでは、MLに関する回答のガイダンスとしてここに配置します。]

MLEの場合、対数尤度の導関数をゼロに設定しても機能しないことに注意してください。

例えば、既知のためと（私たちは、単純な再スケーリングによって0,1として取ることができWLOG）、のためのMLE上の議論を参照：ここでは三角分布のためのMLEを？。$a$$b$$c$

さらに、一般に、エンドポイントおよびのML推定値は、極端な次数の統計ではありません。たとえば、こちらをご覧ください （1）$a$$b$

（1）Kotz、Samuel、およびJohan Rene van Dorp（2004）、
The Triangular Distribution、（Chapter 1）
Beyond Beta—Bounded Support and Applications with Bounded Support and Applications、
World Scientific、NJ
（サンプルの章）

境界の推定量としての極値統計の使用 $a,b$ そして次に

$$E(X) = \frac {a+b+c}{3}$$

推定する $c$ 瞬間の方法で...とても驚くほど簡単です、

$$\hat a = X_{(1)},\;\; \hat b = X_{(n)},\;\;\hat c = 3\bar X - \hat a - \hat b$$ 見積もりから始める方法を考えさせられました $c$まず、ひねりを加えただけです。ここには、まだ推定器のプロパティはありません。このコミュニティwikiは、さらに作業を進めることに興味がある場合に備えて作成します。

1）経験的四分位数を取得する $\hat q_1, \hat q_3$ そして四分位範囲を形成します $\text{IQR} = \hat q_3 - \hat q_1$

2）Friedman-Diaconisルールを使用してデータをビニングします。

$$\text{Bin size}=2\, { \text{IQR} \over{ {n^{1/3}} }}$$

3）経験的ヒストグラムを作成し、推定する $\hat c$ 経験的な頻度が最も高いビンの中点として。

4）次に解く $a,b$ 方程式系

$$q_1 = a + \frac {\sqrt{(c-a)(b-a)}}{2}$$ $$q_3 = b + \frac {\sqrt{(b-c)(b-a)}}{2}$$

推定を使用して $\hat q_1, \hat q_3, \hat c$ （OPのリンク先の本の章、8ページから取った逆CDF式）。