場合

教科書で以下を見ましたが、その概念を理解するのに苦労しました。は通常E（X n）= 0およびVar（X n）= 1で分布することを理解しています$X_n$$X_n$$X_n$。$\frac{1}{n}$

ただし、に√を乗算する理由がわかりません $X_n$ は、標準の標準にします。$\sqrt n$

分散は二乗に関連する2 次モーメントであるため、因子は二乗されます。

より正確には、期待値は線形操作であるため、一般に、中央に次のモーメントがある場合（あなたは 2次のモーメントです）：$d$$2$

$$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$$ 定数を 乗算すると、その定数は積分の外側になり、べき乗dの影響を受けます（積分が適切に定義されている限り）。 $X$$d$

$$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$$

したがって、を掛けると$X$$\sqrt{n}$$X$$(\sqrt{n})^2$

平均は一次モーメントなので、を掛けます$\sqrt{n}$$0$$X$

仮定。その後、 X - $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$

$$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$$ $X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$$N(\mu,\sigma^{2})$ $$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$$