モーメント生成関数（MGF）とは何ですか？

簡単な例とともに、素人の言葉で説明できますか？

できるだけ正式な数学表記を使用するように制限してください。

我々が取得しようとしていますのは、式の無直感が不可能であると仮定し、まだ何が起こっているかのアイデアを得るために非常に必需品に数学を煮詰めて主張してみましょう統計モーメントを、これに義務を参照した後、物理学、確率変数のべきの期待値として定義します。連続ランダム変数の場合、生の$k$番目のモーメントはLOTUSによるものです。

$$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$$

積率母関数、

$$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$$ である。この積分（式1）の周りを歩くための方法は、代わりに、行うことでは：

$$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$$

どうして？それは簡単で、eの Maclaurinシリーズを展開することで見ることができるMGFの素晴らしい特性があるからです。$\color{blue}{e^{\,tX}}$

$$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$$

このべき級数の両側に期待すること：

$$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$$

モーメントはこの多項式「物干しロープ」上に「位置」しているように見え、簡単な積分（式（2））を1回だけ実行すると、$k$回微分してゼロで評価することで選別する準備ができています。pdfが指数関数である場合、統合が容易であるという事実が最も明白です。

$k$番目のモーメントを回復するには：

$$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$$

最終的に区別する必要があるという事実は、それを無料の昼食ではありません-最後に、それは指数の符号が変更されたpdfの両側ラプラス変換です：

$$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$$

その結果、

$$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$$

これは、事実上、直感に物理的な道を与えてくれます。ラプラス変換は、$\color{green}{\text{pdf}}$作用し、瞬間に分解します。フーリエ変換との類似性は避けられません。FTは関数を実線上の新しい関数にマッピングし、ラプラスは関数を複素平面上の新しい関数にマッピングします。フーリエ変換は関数または信号を一連の周波数として表現しますが、ラプラス変換は関数をそのモーメントに分解します。実際、モーメントを取得する別の方法は、フーリエ変換（特性関数）を使用することです。ラプラス変換における指数項は、フォームの一般的である$e^{-st}$と$s=\sigma + i\,\omega$に対応する実際の指数と虚数sinusoidals、そのようなものとしてプロット得、これを：

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[ からザ・科学者とスティーブンW. Smithによる信号処理にエンジニアガイド ]

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したがって、$M_X(t)$関数は、σ = 0の場合、$\text{pdf}$何らかの形で「構成周波数」に分解します。（4）：$\sigma=0.$

$$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$$

これにより、pdfのフーリエ変換に対応する式の赤部分の不適切な積分が残ります。

一般に、関数のラプラス変換極の直観は、関数の指数（減衰）および周波数成分（この場合はpdf）の情報を提供することです。

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$X^k$$e^{tx}$$(1)$$(2)$$k$$(2)$$k$$(3)$$0$

$$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$$ $$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$$

さらに、このMGFは分布に関するすべてをエンコードするため、関数の操作方法を知っていれば、分布のすべての特性に操作を一度に適用できます！なぜMGFを常に使用しないのですか？まず、すべての状況でMGFが最も簡単なツールではありません。第二に、MGFは常に存在するとは限りません。

素人以上

標準正規分布があるとします。PDF記述することで、それについて知っているすべてを表現できます。

$$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

平均や標準偏差などのモーメントを計算し、ランダムな法線などの変換された変数や関数で使用できます。

正規分布のMGFはPDFの代替と考えることができます。同じ量の情報が含まれています。すでに平均値を取得する方法を示しました。

$$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$$ $M(t)=e^{t^2/2}$ $$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$$