コーシー分布の標本平均の分布は何ですか？

通常、分布のサンプル平均をランダムに（サンプルサイズが30より大きい場合）取ると、平均値を中心とする正規分布が得られます。しかし、コーシー分布には平均値がないと聞きました。コーシー分布の標本平均を取得すると、どの分布が得られますか？

基本的にコーシー分布の場合、は定義されていないので、とは何で、分布は何ですか？$\mu_x$$\mu_{\bar{x}}$$\bar{x}$

場合コーシーIIDさその後、我々はことを示すことができるもコーシーである：特性関数の引数を使用して$X_1, \ldots, X_n$$(0, 1)$$\bar{X}$$(0, 1)$

$$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$$

これは標準コーシー分布の特徴的な関数です。より一般的なコーシー場合の証明は基本的に同じです。$(\mu, \sigma)$

通常、分布のサンプル平均をランダムに（サンプルサイズが30より大きい場合）取ると、平均値を中心とする正規分布が得られます。

ではない正確に。あなたは中央限界定理を考えています。これは、有限分散（それ自体が有限平均意味する）を持つIID確率変数のシーケンスが与えられた場合、式が無限大になると、分布は正規分布に収束します。変数の有限サブセットの標本平均が正規分布するという保証はありません。$X_n$$μ$$\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$$n$

しかし、コーシー分布には平均値がないと聞きました。コーシー分布の標本平均を取得すると、どの分布が得られますか？

GeoMatt22が言ったように、サンプル平均はそれ自体がコーシー分布になります。つまり、コーシー分布は安定分布です。

中心極限定理はコーシー分布の確率変数には適用されないことに注意してください。これは、それらが有限の平均と分散を持たないためです。