半コーシー分布の特性は何ですか？

現在、状態空間モデルのマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）アルゴリズムを開発する必要がある問題に取り組んでいます。

この問題を解決するために、次の確率でが与えられました：p（）= 2I（ > 0）/（1+）。はの標準偏差です。τ τ τ 2 τ $\tau$$\tau$$\tau$$\tau^2$$\tau$$x$

だから今、私はそれが半分コーシー分布であることを知っています、なぜなら私は例を見てからそれを認識し、そして私がそう言われたからです。しかし、なぜそれが「半コーチ」分布であり、どの特性がそれに伴うのかを完全には理解していません。

プロパティの観点から、私は何が欲しいのかよくわかりません。私はこのタイプの計量経済学理論にかなり慣れていない。そのため、状態空間モデルのコンテキストでの分布と使用方法を理解することがより重要です。モデル自体は次のようになります。

$$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$$

編集：p（\ tau）にを含めました。これを指摘していただきありがとうございます。$\pi$$\tau$

半コーシーは、コーシー分布の対称半分の1つです（指定されていない場合、意図されているのは右半分です）。

コーシーの右半分の面積はため、密度を2倍にする必要があります。したがって、pdfの2（whuberがコメントで指摘したように、が欠落しています）。$\frac12$$\frac{1}{\pi}$

ハーフコーチーには多くの特性があります。いくつかは、事前に必要な有用なプロパティです。

スケールパラメーターの事前分布の一般的な選択は、逆ガンマです（特に、よく知られている場合には共役であるため）。情報量の少ない事前情報が必要な場合は、非常に小さなパラメーター値が使用されます。

ハーフコーチは非常に重く尾がついており、それも状況によってはかなり情報が少ないと見なされる場合があります。Gelman（[1]など）は、逆パラメーターのハーフt事前分布（ハーフコーチを含む）を推奨します。これは、小さなパラメーター値に対してより良い動作をするが、大規模パラメーターが使用される場合にのみ有益な情報と見なさ れるためです *。ゲルマンは、近年、ハーフコーチに注目しています。ポルソンとスコットによる論文[2]は、特にハーフコーシーを選択する追加の理由を示しています。

*投稿には、標準的なハーフコーチが表示されます。ゲルマンはおそらく事前にそれを選択しないでしょう。スケールのすべてに意味がない場合、スケールは1を超えると1を超える可能性が高いと言うことに対応します（これは必要な場合があります）ために。

[1] A. Gelman（2006）、
「階層モデルの分散パラメーターの事前分布」
ベイジアン分析、Vol。1、N. 3、pp。515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NGポルソンとJGスコット（2012）、
「グローバルスケールパラメーターの半コーチ事前
分布」ベイズ分析、Vol。7、No. 4、pp。887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466