ニュートンラフソンとフィッシャーのスコアリングの最初の反復を明示的に見せていただけますか？

サンプルの各メソッドの最初の反復を計算することにより、Newton-Raphsonテクニックとテクニックの違いを理解しようとしFisher scoringていBernoulliます。（私はこのケースでは、私は明示的に、すぐに計算できることを知っている、私は繰り返しそれを行うには、単に理解し、どのように各メソッドの収束を見たいです）。$\pi_{mle}$

私は、コインを描くとし回、実際のパラメータπ 、T = 0.3である私には不明、と私は4頭を得たので、ˉ X = 0.4。$n=10$$\pi_t=0.3$$\bar{X}=0.4$

スコア関数は次のとおりです。

$$u(\pi) = \frac{n\bar{X}}{\pi} - \frac{n(1-\bar{X})}{1-\pi}$$

観測された漁師情報は次のとおりです。

$$J(\pi) = -\frac{n\bar{X}}{\pi^2} - \frac{n(1-\bar{X})}{(1-\pi)^2}$$

予想される漁師情報は次のとおりです。

$$I(\pi) = \frac{n\pi_t}{\pi^2} + \frac{n(1-\pi_t)}{(1-\pi)^2}$$

そして、私たちが期待フィッシャー情報を簡素化できることに注意してください我々がそれを評価する場合にのみ、$\pi = \pi_t$が、それがどこにあるか、我々が知りません...

今、私の最初の推測があるとし$\pi_0 = 0.6$

Newton-Raphson単にこのように行きます：

$$\pi_1 = \pi_0 - u(\pi_0)/J(\pi_0)$$

？

そして、どうFisher-scoringですか？

$$\pi_1 = \pi_0 + u(\pi_0)/I(\pi_0)$$

$\pi_t$$\pi_t$$\pi_{mle}$

これら2つの方法を可能な限り具体的に示してくれませんか。ありがとう！

以下のためにニュートン・ラプソン、はい、私たちは持っています

$$\pi_1 = \pi_0 - u(\pi_0)/J(\pi_0).$$

$\pi$$I(\pi)$$I(\pi)=-E(J(\pi))=E[u(\pi)u^{'}(\pi)]$

$$\hat I(\pi_0) = \sum_i^n u_i(\pi_0)u_i^{'}(\pi_0),$$ $u_i(\pi)= \frac{x_i}{\pi} - \frac{1-x_i}{1-\pi}$$x_i$ $$\pi_1 = \pi_0 + u(\pi_0)/\hat I(\pi_0).$$ $n$

I_hat(pi)@ihadannyのPythonコードを修正しました。現在、Newton-RaphsonとFisherのスコアリングは同じ結果を提供します。

import random
import numpy as np 

pi_t = random.random()
n = 1000
draws = [1 if x < pi_t else 0 for x in np.random.rand(n)]
x_bar = np.mean(draws)

def u(pi):
    return n*x_bar/pi - n*(1-x_bar)/(1-pi)
def J(pi):
    return -n*x_bar/pi**2 - n*(1-x_bar)/((1-pi)**2)
def I_hat(pi):
    x = 0
    for i in range(0, n): 
        x = x + (draws[i]/pi - (1-draws[i])/(1-pi))**2
    return x
def Newton(pi):
    return pi - u(pi)/J(pi)
def Fisher(pi):
    return pi + u(pi)/I_hat(pi)

def dance(method_name, method):
    print("starting iterations for: " + method_name)
    pi, prev_pi, i = 0.5, None, 0
    while i == 0 or (abs(pi-pi_t) > 0.001 and abs(pi-prev_pi) > 0.001 and i < 10):
        prev_pi, pi = pi, method(pi)
        i += 1
        print(method_name, i, "delta: ", abs(pi-pi_t))

dance("Newton", Newton)
dance("Fisher", Fisher)

Log Message
starting iterations for: Newton
Newton 1 delta:  0.00899203081545
Newton 2 delta:  0.00899203081545
starting iterations for: Fisher
Fisher 1 delta:  0.00899203081545
Fisher 2 delta:  0.00899203081545

更新

$$\hat I(\pi)=\sum_i^n \left(\frac{x_i}{\pi} - \frac{1-x_i}{1-\pi}\right)^2= \frac{\sum_i^n x_i}{\pi^2} + \frac{(n-\sum_i^n x_i)}{(1-\pi)^2} = -J(\pi),$$