計量経済学のテキストは、分布の収束は瞬間の収束を意味すると主張しています

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補題2.1（分布とモーメントで収束）：レッツである番目のモーメント、およびここで、は有限です（つまり、実数）。次に： $\alpha_{sn}$ $s$ $z_{n}$ $\lim_{n\to\infty}\alpha_{sn}=\alpha_{s}$ $\alpha_{s}$

" $z_{n} \to_{d} z$ " $\implies$ " $\alpha_{s}$ は $s$ 番目のモーメントです。" $z$

したがって、たとえば、分布に収束する一連の確率変数の分散が何らかの有限数に収束する場合、その数は限界分布の分散です。

私が理解している限り、 $z_{n}$ には、コンテキストから推測できる追加の仮定はありません。一様確率測度でによって定義された確率変数のシーケンスを考えます。 $z_{n} = n\mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}$ $[0,1]$

次に $z_{n} \to_{d} 0$ ですが、 $(\forall n)\ E(z_{n}) = 1 \to 1 \neq 0 = E(0)$ です。

上記の補題を正しく読んでいる場合、 $\{z_n\}$ は反例を提供します。

質問：補題は間違っていますか？分布の収束が瞬間の収束を意味する一般的な条件を指定する関連する結果はありますか？

— hilberts_drinking_problem
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6

十分な追加条件は、均一積分可能性の条件、つまり次に、は積分可能で、ます。

lim_{M \to \infty} sup_{n} \int_{| X_{n} | > M} | X_{n} | d P = lim_{M \to \infty} sup_{n} E [| X_{n} | 1_{| X_{n} | > M}] = 0.

$\lim_{M\to\infty} \sup_n \int_{|X_n|>M}|X_n|dP= \lim_{M\to\infty} \sup_n E [|X_n|1_{|X_n|>M}]=0.$

X

$X$

lim_{n \to \infty} E [X_{n}] = E [X]

$\lim_{n\to\infty}E[X_n]=\mathbb{E}[X]$

発見的に、この条件は、積分（期待）への「極端な」寄与が漸近的に存在することを除外します。

現在、これは実際に反例で何が起こっているかを示しています-消失する確率を気にしないでくださいは発散する値取る場合があります。より正確には、すべてのに対してです。したがって、 for allような見つけることができないため、は均一にゼロに収束しません。、すべてのおよびすべての。 $z_n$ $n$ $E[|z_n|1_{\{|z_n|>M\}}]=E[z_n1_{\{z_n>M\}}]=1$ $n>M$ $E[z_n1_{\{z_n>M\}}]$ $N$ $E[z_n1_{\{z_n>M\}}]<\epsilon$ $n\geq N$ $\epsilon>0$ $M$

一様積分可能性の十分な条件は、 for someです。

sup_{n} E [| X_{n} |^{1 + ϵ}] < \infty

$\sup_n E[|X_n|^{1+\epsilon}]<\infty$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

そして、十分な条件を満たさないことは、もちろん、一様積分可能性の欠如の証拠ではありませんが、ように、この条件が満たされていないことを確認することはさらに直接的です。明らかに超える有限のはありません。

E [| X_{n} |^{1 + ϵ}] = n^{ϵ},

$E[|X_n|^{1+\epsilon}]=n^\epsilon,$

sup

$\sup$

n

$n$

— クリストフ・ハンク
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3

実際、この本の既知の正誤表（正誤表.pdfのWebサイトを参照）であり、特定の補題がモーメント限界条件を記述していないことは

\exists δ : E (| z_{n} |^{s + δ}) < M < \infty \forall n

$\exists \; \delta : E(|z_n|^{s+\delta}) < M < \infty\;\; \forall n$

— アレコスパパドプロス
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