誰かが独立とランダムの違いを説明するのを助けることができますか？

統計では、独立とランダムは同じ特性を記述していますか？それらの違いは何ですか？「2つの独立したランダム変数」や「ランダムサンプリング」などの説明によく出くわします。それらの正確な違いは何だろうと思っています。誰かがこれを説明し、いくつかの例を挙げることができますか？たとえば、独立ではないがランダムなプロセスですか？

非技術用語で説明しようと思います。ランダム変数は実験の結果を表します。正確な結果が何であるかを事前に知ることはできませんが、いくつかの情報があります。どの結果が可能かは知っており、各結果について、その確率を知っています。

たとえば、公正なコインを投げる場合、頭か尻かを事前に知ることはできませんが、これらが起こり得る結果であり、それぞれが50％の確率で発生することを知っています。

独立性を説明するには、2つの公正なコインを投げる必要があります。最初のコインを投げた後、2回目の投げの場合、頭の確率はまだ50％であり、尻尾の確率もまだであることを知っています。最初のトスが2番目のトスの確率に影響を与えない場合、両方のトスは独立しています。最初のトスが2番目のトスの確率に影響する場合、それらは依存しています。

依存するトスの例は、2つのコインを接着する場合です。

ランダムはランダム変数に関連し、独立は確率的独立に関連します。独立我々は場合は、1つの変数を観察することは、私たちに別の、またはより正式な用語ではについては何も教えてくれないことを意味しとYは、その後、我々は場合、彼らは独立していると言う、2つの確率変数であります$X$$Y$

さらに

そして、それらの共分散はゼロです。ランダム変数は、Xの関数として記述できる場合、Xに依存します。$Y$$X$$X$

したがって、この場合にはあり、ランダムなと依存のX。$Y$$X$

プロセスを「非独立」と呼ぶのはかなり誤解を招く-何から独立しているか？何らかのプロセスからの独立した同一分布のランダム変数（こちら、またはこちら）があることを意味していると思います。ここで独立とは、それらが互いに独立していることを意味します。従属ランダム変数を生成するプロセスがあります。例えば$X_1,\dots,X_k$

ここで、はランダムノイズです。このような場合、明らかにX iはX i − 1に依存しますが、ランダムでもあります。$\varepsilon$$X_i$$X_{i-1}$

変数は数学のすべての分野で使用されます。変数の独立性とランダム性の定義は、統計だけでなく、あらゆる形式の数学に一方的に適用されます。

たとえば、2次元ユークリッドジオメトリのX軸とY軸は独立変数を表しますが、それらの値は（通常）ランダムに割り当てられません。

指定された2つの変数は、ランダム、独立（互いに独立）、両方、またはどちらでもない可能性があります。統計は、ランダム性（より正確には確率）に焦点を当てる傾向があり、2つの変数が独立しているかどうかは、観察される特定の結果の確率に多くの影響を与えます。

統計を学習するとき、これら2つの特性（独立性とランダム性）が一緒に説明される傾向があります。両方とも知っておくことが重要であり、手元の質問の答えに影響を与える可能性があるためです。ただし、これらのプロパティは同義ではなく、数学の他の分野では必ずしも一緒に発生するわけではありません。

独立の概念は相対的ですが、自分でランダムにすることもできます。この例では、「2つの独立したランダム変数」があり、いくつかの「ランダムサンプリング」について話す必要はありません。

完璧なダイを数回キャストするとします。結果先験的にランダムです。：過去を知って、私は、ダイの反対側からシーケンスを生成すると仮定4.次の数を予測することはできません6 → 1、3 → 4。私が得る1 、2 、4 、2 、3 ...。それは最初のものと同じくらいランダムです。3の後に何が来るか推測できません。しかし、2つのシーケンスは完全に依存しています。$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

2つのサイコロを（それらの間の相互作用なしで）並列にキャストすると、それぞれのシーケンスはランダムで独立します。

最初の値がランダムに生成され、2番目の値が最初の値に依存しているときに値のペアがある場合。たとえば、男の身長と体重。それらの間には相関関係があります。しかし、両方ともランダムです。

コインの例は、ランダムで独立した変数の素晴らしい図解です。ランダムであるが従属変数を考える良い方法は、トランプの7デッキシューズから引き出される次のカードです。以前に配られたカードに応じて変化しますが、靴にカードの値が1つだけ残るまで、次に来るカードの値はランダムのままです。

David Bohmは、現代物理学の因果関係と偶然（ロンドン：Routledge、1957/1984）で、因果関係、偶然、ランダム性、独立性について説明しています。

「自然界では何も一定ではありません。すべてが変化、運動、変化の永続的な状態にあります。絶対にそれが後に存在するものを絶対に生じないという感覚.....すべては他のものから来て、他のものを生じさせる。この原則は、まだ自然の因果関係の存在の声明ではない。次のステップは、さまざまな条件下で行われるプロセスを研究する際に、変化と変換の複雑さのすべての中に関係があることを発見することです実質的に一定のままです。....しかし、この時点で、新しい問題に直面します。因果律の必要性は絶対的ではありません。したがって、偶発事象から抽象化する場合にのみ、必要に応じて自然法則を考えなければならないことがわかります。これは、検討中の法律で扱うことができるものの範囲外に存在する可能性があり、必ずしも従わない本質的に独立した要因を表すこれらの法律の文脈の下で指定される可能性のあるものから。そのような偶然性は偶然につながる。」（pp.1-2）

「特定のコンテキストの外にある偶発事象がそのコンテキスト内の出来事とは無関係に変動する傾向は、それが原則として、つまりランダム性の原則として宣言できるほど広く広がっていることを証明しました。さまざまな可能性にわたって非常に複雑な方法でこれらの偶発事象を変動させますが、統計的平均が規則的でほぼ予測可能な動作を持つようにします。」（p.22）