ランダム変数と依存していますか？

ランダム変数とランダム変数の関数の依存性について何か言うことができますか？例えば、あるに依存して？$X^2$$X$

ここに、@ cardinalのコメントの証拠を少しひねって示します。場合及び独立しており、その後 をとると、方程式 得られます。 2つの解0と1。したがって、すべてのに対して。完全に一般的に言えば、これ以上言うことはできません。場合及び独立しており、次いで、いずれかのことが可変なものであるがでのいずれかでありますF （X ）P （X ∈ A ∩ F - 1（B ））= P （X ∈ A 、F （X ）∈ B $X$$f(X)$ A=F-1（B）P（F（X）∈B）=P（F（X）∈B）2、P（F（X）∈B）∈{0、

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ B X f （X ）f （X ）B B B c c { b $P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$$f(X)$$f(X)$$B$$B$または確率1の。さらに言えば、より多くの仮定が必要です。たとえば、シングルトンセットは測定可能です。$B^c$$\{b\}$

ただし、測定理論レベルの詳細は、OPの主な関心事ではないようです。場合は実数で、実際の関数である（と私たちはボレル使用 -代数、たとえば）、その後、服用、それは次のことの配布のための分布関数のみは0と1の値を取るため、0からジャンプするがあり、です。F σ B = （- ∞ 、B ] F （X ）B 1つのP （F （X ）= B ）= $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$

結局のところ、OPの質問に対する答えは、とは一般に依存しており、非常に特別な状況下でのみ独立しているということです。さらに、ディラック測度常に与えられた条件付き分布に適格です。これは、を知ることで、です。縮退した条件付き分布を伴うこの特別な形式の依存性は、ランダム変数の関数の特徴です。 F （X ）δ F （X ）、F （X ）X = X X = X F （X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$

補題：ランダム変数とし、（Borel測定可能な）関数とし、とが独立するようにします。その場合、はほぼ確実に一定です。つまり、ようながあります。F X 、F （X ）、F （X ）∈ R P（F （X ）= A ）= $X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

証拠は以下のとおりです。しかし、最初に、いくつかの発言。ボレルの可測性は、合理的で一貫した方法で確率を割り当てることができるようにするための単なる技術的条件です。「ほぼ確実に」の声明も単なる技術です。

補題の本質は、とを独立させたい場合、形式の関数のみが候補になることです。f （X ）f （x ）= $X$$f(X)$$f(x) = a$

これを、とが無相関であるような関数の場合と比較してください。これは非常に、ある非常に弱い状態。実際に、考える任意の確率変数の平均ゼロ、有限の絶対的な第三の瞬間とそのゼロに関して対称であるとします。質問の例のように、取ります。それから、とは無相関です。X 、F （X ）X F （X ）= X 2 C O V（X 、F （X ））= E X F （X ）= E X 3 = 0 のX F （X ）= X $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

以下に、補題について考え出すことができる最も簡単な証明を示します。私はそれを作った非常に詳細なので、すべての詳細ができるだけ明らかとされていること。誰かがそれを改善したり簡素化したりする方法を見つけたら、私は知ることを楽しみます。

証明のアイデア：私たちが知っていれば直感的に、、我々は知っている。そこで、我々は中にいくつかのイベントを見つける必要がある、によって生成されるシグマ代数の我々の知識に関し、することに。その後、我々は想定自立と連携して、その情報を使用してとのために私たちの利用可能な選択肢ことを示すために、厳しく制約されています。f （X ）σ （X ）X X f （X ）X f （X ）$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$$f(X)$$f$

補題の証明：とは、すべてのおよび、。LET、いくつかのボレル可測関数のためのような及び独立しています。定義。次に、 そしてはBorelセットであり、はボレル測定可能、その後Y A ∈ σ （X ）B ∈ σ （Y ）P（X ∈ A 、Y ∈ B ）= P（X ∈ A ）P（Y ∈ B ）Y = F （X ）F X Y A （Y ）= { ω ：f （X （ω ）$X$$Y$$A \in \sigma(X)$$B \in \sigma(Y)$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$$Y = f(X)$$f$$X$$Y$A （Y ）= { ω ：X （ω ）∈ F - 1（（- ∞ 、Y ] ）} （- ∞ 、Y ] F F - 1（（- ∞ 、Y ] ）A （Y ）∈ σ （X ）σ （X $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ $(-\infty,y]$$f$$f^{-1}((-\infty,y])$また、ボレルセットです。これは、その意味（で定義の（！））。$A(y) \in \sigma(X)$$\sigma(X)$

とは独立しており、であると想定されるため、 これは、すべてのについて成り立ちます。ただし、定義により、 最後の2つを組み合わせて、すべての、 そうまたは。これは、定数が存在する必要があることを意味しますY A （Y ）∈ σ （X ）P（X ∈ A （Y ）、Y ≤ Y ）= P（X ∈ A （Y ））P（Y ≤ Y ）= P（F （X ）≤ Y ）P（F （X ）≤ Y $X$$Y$$A(y) \in \sigma(X)$

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ $y \in \mathbb R$$A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ $y \in \mathbb R$ $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ $\Pr(f(X) \leq y) = 0$$\Pr(f(X) \leq y) = 1$$a \in \mathbb R$分布関数ように、ゼロから1つにジャンプ。つまり、ほぼ確実です。$f(X)$$a$$f(X) = a$

NB：逆もまたより単純な議論によって真であることに注意してください。場合すなわち、ほぼ確実に、次に及び独立しています。$f(X) = a$$X$$f(X)$