逆指数分布の平均

確率変数与えられた場合、の平均と分散は何ですか？G = $Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

私は逆ガンマ分布を調べますが、平均と分散はそれぞれとに対してのみ定義されています...α > $\alpha>1$$\alpha>2$

逆指数分布がであるとすると、逆指数の平均がであるという事実に出くわしました。したがって、逆指数の分散は定義されていません。$\alpha = 1$$\infty$

が逆指数分布する場合、が存在し、場合は有限で、場合はです。E （GのR）R < 1 = ∞ 、R = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

指数分布の平均の計算を示すので、アプローチを思い出してください。次に、同じ方法で逆指数関数に進みます。

与えられた$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

部分的に統合する（今のところ積分の前にあるを無視する）、$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

積分の前にある掛けます。$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

評価と、$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

これは既知の結果です。

以下のために、同じ論理が適用されます。$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

主な違いは、部品による統合の場合、

$u = y^{-1}$

そして

$du = -1y^{-2}$

したがって、場合は役に立ちません。ここでは積分は定義されていないと思います。Wolframアルファは収束しないと言っています。$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

したがって、平均は逆指数、または同等に逆ガンマには存在しません。その理由は、分散とについても同様です。α > $\alpha=1$$\alpha \gt 2$

クイックシミュレーション（R）の後、平均が存在しないようです：

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

比較のために、ここでは本物の指数確率変数で何が起こるかを示します。