ランダム変数の比率や逆数は、期待がないという点で問題になることが多いと聞きました。何故ですか？

タイトルは質問です。確率変数の比率と逆数はしばしば問題があると言われています。つまり、期待はしばしば存在しないということです。その単純で一般的な説明はありますか？

非常にシンプルで直感的な説明を提供したいと思います。写真を見ることになります。この投稿の残りの部分では、写真について説明し、そこから結論を導き出します。

結論は次のとおりです。X= 0付近に「確率質量」が集中している$X=0$場合、$1/X\approx \pm \infty$に近い確率が非常に高くなり、その期待値が未定義になります。

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完全に一般的なものではなく、0の近傍に連続密度f_Xを持つランダム変数Xに注目しましょう。 f_X（0）\ ne 0と仮定します。 視覚的に、これらの条件はfのグラフが0の周りの軸の上にあることを意味します：$X$$f_X$$0$$f_X(0)\ne 0$$f$$0$

付近のの連続性は、より小さい正の高さおよび十分に小さいに対して、を中心とし、幅およびheightをもつこのグラフの下に長方形をことができることを意味します示されているように。これは、元の分布を均一分布（重み）と残りの混合物として表現することに相当します。 $f_X$$0$$p$$f_X(0)$$\epsilon$$x=0$$2\epsilon$$p$$p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

言い換えれば、は次のように発生すると考えることができます。$X$

1. 確率で、均一分布から値を描画します。$2p\epsilon$$(-\epsilon,\epsilon)$

2. そうでなければ、密度が比例する分布から値を描画します。（これは、右側に黄色で描かれた関数です。）$f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

（はインジケーター関数です。）$I$

ステップは、任意のに対して、がから間の確率がを超えることを示しています。同様に、これはがを超える可能性です。別の言い方をすれば、生存関数にを書く$(1)$$0 \lt u \lt \epsilon$$X$$0$$u$$p u / 2$$1/X$$1/u$$S$$1/X$

$$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$$

図は、すべてのを示しています。$S(x) \gt p / (2x)$$x \gt 1/\epsilon$

についてのこの事実は、期待が未定義であることを意味するため、これで完了です。$S$ 正の部分の期待値計算に関与積分比較、：$1/X$$(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

$$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$$

（これは純粋に幾何学的な議論です。すべての積分は識別可能な2次元領域を表し、すべての不等式はそれらの領域内の厳密な包含から生じます。実際、最終積分が対数であることを知る必要さえありません：単純な幾何学的この整数の発散を示す引数。）

右側はとして分岐するため、分岐します。負の部分の状況は同じです（長方形がを中心としているため）。同じ引数は、負の部分の発散の期待を示しています。したがって、自体の期待は定義されていません。$x\to\infty$$E[(1/X)_{+}]$$1/X$$0$$1/X$$1/X$

ちなみに、同じ引数は、が指数分布またはガンマ分布（形状パラメーターが未満）などの片側に確率が集中している場合でも、正の期待は発散しますが、負の期待はゼロであることを示しています。この場合、期待値は定義されていますが、無限です。$X$$0$$1$

比率と逆数は、非負のランダム変数ではほとんど意味があるため、ほぼ確実に想定します。次に、が正の確率で値ゼロをとる離散変数である場合、正の確率でゼロで除算します。これは、期待値が存在しない理由を説明します。$X \ge 0$$X$$1/X$

が密度関数ランダム変数である連続分布の場合を見てみましょう。あり、が連続的（少なくともゼロ）であると仮定します。そこであるように用。の期待値は、与えられ 積分の変数をに変更してみましょう、取得 $X \ge 0$$f(x)$$f(0)>0$$f$$\epsilon > 0$$f(x) > \epsilon$$0 \le x < \epsilon$$1/X$

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$$ $u=1/x$$du = -\frac1{x^2} \; dx$ $$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$$ 次に、仮定によって上のので、に、使用して、この我々は は、期待値が存在しないことを示します。この仮定を満たす例は、レート1の指数分布です。$f(u) > \epsilon$$[0,\epsilon)$$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$$(1/\epsilon, \infty)$ $$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$$

逆数の答えを出しましたが、比率はどうですか？ましょ 2つの非負確率変数の比率です。それらが独立している場合、書くことができる ので、これは最初のケースにかなり減り、言うことはあまりありません。それらが依存している場合、ように結合密度ファクタリングすると、 上記と同じ置換を使用して） および内部積分で上記のようにできます。結果は、条件付き密度（$Z=Y/X$

$$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$$ $$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$$ $$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$$ $y$）は正であり、ゼロで連続的です。正の限界確率を持つのセットの場合、期待値は無限になります。限界期待値が無限であるが、完全な相関関係がない限り、比率期待値は有限である例を見つけるのは容易ではないと思います。そのような例をいくつか見るといいでしょう！$y$$1/X$$Y/X$