ガウス確率変数の最大値の分散

ランダム変数からサンプリングされた、定義します $X_1,X_2, \cdots, X_n$ $\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

Z = max_{i \in {1, 2, \dots, n}} X_{i}

$Z = \max_{i \in \{1,2,\cdots, n \}} X_i$

我々は、その $\mathbb{E}[Z] \le \sigma \sqrt{2 \log n}$ 。上限/下限があるかどうか疑問に思っていましたか $\text{Var}(Z)$ ？

— 悪魔
ソース

はじめに、

V a r (Z) \leq σ^{2}

$Var(Z) \le \sigma^2$ （n = 1で等式が達成される）であり、Nが増加するとVar（Z）が減少することがわかります。nの関数としてそのより厳しい境界を提供することは、あなたに任せます。

— マークL.ストーン

サンプル最大値からサンプル最小値を引いた値は、スチューデント化された範囲と呼ばれ、基になる確率変数がIID正規であれば、スチューデント化された範囲の分布に従います。それはあなたが尋ねていることと少なくとも漠然と関連しています...（読むための出発点を与えることができます）。特定の質問に戻りますが、実用的な答えを見つけるために、モンテカルロシミュレーションを簡単に作成できると思います。

— Matthew Gunn

stats.stackexchange.com/questions/105745に対する両方の回答は、上限または下限を生成する可能性のある分析を使用して、標準偏差（したがって、分散）への近似を提供します。

— whuber

関連： stats.stackexchange.com/questions/77110/...

— HalvorsenのはKjetil B

回答:

タラグランドの不等式を適用することで上限を取得できます。チャタジーの本（たとえば、超集中現象）を見てください。

それはあなたに指示その。 ${\rm Var}(f)\leq C\sum_{i=1}^n\frac{\|\partial_if\|_2^2}{1+\log( \|\partial_i f||_2/\|\partial_i f\|_1)}$

最大の場合、を取得し、次にのガウスメジャーに関して積分することで、を取得しますは対称です。（ここでは、分散1のすべてのrv iidを選択しています）。 $\partial_if=1_{X_i=max}$ $\mathbb{R}^n$ $\|\partial_if\|_2^2=\|\partial_if\|_1=\frac{1}{n}$

これは真の分散の順序です。最大値の期待値にはある程度の上限があるため、Eldan-Ding Zhai（複数のピークとガウスの上限の適度な偏差について）のこの記事は、
${\rm Var}(\max X_i)\geq C/(1+\mathbb{E}[\max X_i])^2$

これらの分散の限界を反映した鋭い濃度不等式を取得することも可能です。http： //www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/papers/ranDv.pdf を参照するか、より一般的なガウス過程について、私の論文 https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf

完全な一般性では、濃度理論のツールは常に最大関数に対して最適ではないため、ガウシアン極値の分散の正しい次数を見つけるのはかなり困難です。

私が尋ねるかもしれないのに、なぜあなたはこれらの種類の見積もりが必要なのですか？

— タンギー・ケビン
ソース

タラグランの不等式は、標準のガウス測度によって満たされるポアンカレの不等式の改善であることに注意してください。これについては、Cordero-Ledouxの記事「超収縮措置、タラグランドの不平等と影響」でさらに詳しく説明されています。

— Tanguy Kevin 2017

どうもありがとう。これは非常に役立ちます。削除チャネルを介した観測から、ビットストリーム内の0のランの長さを推定する際にエラーの確率を制限しようとしていた問題に対処していました。ガウス近似の後、最大値は自然な推定値であるように見え、そのパフォーマンスの限界は非常に重要であることがわかりました。私の特定の問題では、それをガウスMMSE推定問題に還元することによって、それを回避する方法を見つけることができました。

— Devil

より一般的には、範囲の期待値と変動は、分布の裾がどの程度太っているかに依存します。分散のために、自分の分布に依存する（、均一なため、ガウスのため、及び参照指数のために。）ここ。次の表は、範囲の大きさの順序を示しています。 $O(n^{-B})$ $B$ $B = 2$ $B = 1$ $B = 0$

— ヴィンセントグランビル
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