最小二乗回帰（LSQ）線は最小絶対偏差（LAD）線といつ等しくなりますか？

次の質問があります。

と思います $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{10},y_{10})$ 上の二変量観測のセットを表します $(X,Y)$ そのような $x_2=x_3=\cdots =x_{10}\ne x_1.$ 最小二乗回帰線はどのような条件下で $Y$ オン $X$ 最小絶対偏差線と同じですか？

私たちは見つけたいと言うことを知っています $\hat{\alpha}$ そして $\hat\beta$ そのような $Y=\hat\alpha+\hat\beta X$; LSQメソッドは

$$\hat\beta={\sum\limits_{i=1}^{10} (x_i-\bar x)y_i\over \sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)x_i}$$ それゆえ $\hat\alpha$。誰かが私を進めるのを手伝ってくれる？

洞察を得るためのヒント

1. 問題の条件に一致するいくつかのデータを作成または生成します。試す$x_1=0, y_1=0$ そして $x_2..x_{10}=1$ （いくつかの値を選択する $y_i$、 $i=2,...,10$）。線は最初の点に対してどこを通過しますか？

2. 上記のように始めますが、配置してみてください $y_i$、 $i=2,...,10$たとえば、それぞれ1、2、3、4、5、6、7、8、9。行はどこに行きますか？

   

3. 今配置 $y_i$、 $i=2,...,10$たとえば、それぞれ1、2、3、4、5、6、7、8、99。行はどこに行きますか？

   

   の2つの線の近似値について特別な/興味深いものは何ですか？ $x=1$？

   （不明な場合は、他の値を試してください $y_{10}$。）

   

4. これがより一般的なケースであることを証明できますか？

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これは最終的に、一変量の場合に平均値と中央値が等しい場合に関係する見苦しい質問に私たちを導きます。（十分ですが、必須ではない、単純で明白な条件があります。）

サイトには、他のケースを論じる多数の投稿があります。ここにいくつかの興味深い例があります