2サンプルの比率検定にlmを使用する

私はしばらくの間、線形モデルを使用して2サンプルの比率テストを実行していましたが、完全に正しいとは限りません。一般化線形モデルと二項族+同一性リンクを使用すると、プールされていない2サンプル比率検定結果が正確に得られるようです。ただし、線形モデル（またはガウスファミリのglm）を使用すると、わずかに異なる結果が得られます。これは、Rが2項対ガウスの家族のglmをどのように解くかによるのかもしれませんが、別の原因があるのでしょうか？

## prop.test gives pooled 2-sample proportion result
## glm w/ binomial family gives unpooled 2-sample proportion result
## lm and glm w/ gaussian family give unknown result

library(dplyr)
library(broom)
set.seed(12345)

## set up dataframe -------------------------
n_A <- 5000
n_B <- 5000

outcome <- rbinom(
  n = n_A + n_B,
  size = 1,
  prob = 0.5
)
treatment <- c(
  rep("A", n_A),
  rep("B", n_B)
)

df <- tbl_df(data.frame(outcome = outcome, treatment = treatment))


## by hand, 2-sample prop tests ---------------------------------------------
p_A <- sum(df$outcome[df$treatment == "A"])/n_A
p_B <- sum(df$outcome[df$treatment == "B"])/n_B

p_pooled <- sum(df$outcome)/(n_A + n_B)
z_pooled <- (p_B - p_A) / sqrt( p_pooled * (1 - p_pooled) * (1/n_A + 1/n_B) )
pvalue_pooled <- 2*(1-pnorm(abs(z_pooled)))

z_unpooled <- (p_B - p_A) / sqrt( (p_A * (1 - p_A))/n_A + (p_B * (1 - p_B))/n_B )
pvalue_unpooled <- 2*(1-pnorm(abs(z_unpooled)))


## using prop.test --------------------------------------
res_prop_test <- tidy(prop.test(
  x = c(sum(df$outcome[df$treatment == "A"]), 
        sum(df$outcome[df$treatment == "B"])),
  n = c(n_A, n_B),
  correct = FALSE
))
res_prop_test # same as pvalue_pooled
all.equal(res_prop_test$p.value, pvalue_pooled)
# [1] TRUE


# using glm with identity link -----------------------------------
res_glm_binomial <- df %>%
  do(tidy(glm(outcome ~ treatment, family = binomial(link = "identity")))) %>%
  filter(term == "treatmentB")
res_glm_binomial # same as p_unpooled
all.equal(res_glm_binomial$p.value, pvalue_unpooled)
# [1] TRUE


## glm and lm gaussian --------------------------------

res_glm <- df %>%
  do(tidy(glm(outcome ~ treatment))) %>%
  filter(term == "treatmentB")
res_glm 
all.equal(res_glm$p.value, pvalue_unpooled)
all.equal(res_glm$p.value, pvalue_pooled)

res_lm <- df %>%
  do(tidy(lm(outcome ~ treatment))) %>% 
  filter(term == "treatmentB")
res_lm
all.equal(res_lm$p.value, pvalue_unpooled)
all.equal(res_lm$p.value, pvalue_pooled)

all.equal(res_lm$p.value, res_glm$p.value)
# [1] TRUE

モデルのフィッティングに対応する最適化問題をどのように解決するかではなく、モデルが実際に引き起こす最適化問題を処理します。

具体的には、大規模なサンプルでは、​​2つの重み付き最小二乗問題を比較すると効果的に考えることができます。

lm$\text{Var}(\hat{p})=\text{Var}(X/n) = p(1-p)/n$

*少なくとも一部の状況では、必ずしも比率の直線的な比較ではありませんが

計算の観点から、lm対binomial glmのtreatmentB係数の標準誤差を比較します。2項glm（z_unpooledの分母）のtreatmentB係数の標準誤差の公式があります。標準lmのtreatmentB係数の標準誤差は（SE_lm）です：

    test = lm(outcome ~ treatment, data = df)
    treat_B =  as.numeric(df$treatment == "B")
    SE_lm = sqrt( sum(test$residuals^2)/(n_A+n_B-2) / 
              sum((treat_B - mean(treat_B))^2))

$\sigma^2$$n_A+n_B$$-2$$n_A = n_B$