いかがですか

分布を理解しようとしています。ウィキペディアには、確率密度関数について次のグラフがあります。$\chi^2$

このグラフは、場合、PDFが無限になることを示しています。分布のモードはとして定義されるため、$k = 1$$\chi^2$$max \{k − 2, 0\}$$f_1(0) = ?$

Web上の他のグラフでは、よりも高くなるように見えました。ここのように：$1$

もちろん、累積分布関数はすべての自由度でに近づきます。$1$

確率分布関数がどのでもあたりでそのように動作する理由がわかりません。分布は周りでどのように定義されていか？$0$$k$$\chi^2$$0$

分布 のpdfは、$\chi^2$$f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp(-x/2).$

したがって、必要なのは式を評価することだけです。$f(0;k)$

$$f(0;1)=\infty$$ $$f(0;2)=0.5$$ $$f(0;3)=0$$ です。このためのRコードはdchisq(0,k)、いくつかの肯定的なものkです。は場合は無限大であり、はため、場合にのみ興味深いものです。$k= 2$$f(0;k)$$0<k<2$$k>2$

この分布の定義に戻って、0の周りで何が起こるか見てみましょう。

定義により、 $\chi^2$ 分布は、独立した正規確率変数の二乗の合計の分布です。

$$Y = \sum_{i=1}^k Z_i^2 ,$$ （ウィキペディアのページをご覧ください）。密度の値が$0$ ために $k\geq 3$ そして $.5$ ために $k=2$。ために$k=1$、大文字小文字は少し異なります。

あなたの質問を解決するためにその場合だけを考えてみましょう：変数の変更により、 $y=g(z)=z^2$ そのような：

$$f_Y(y) = \left| \frac{d}{dy} (g^{-1}(y)) \right| \cdot f_Z(g^{-1}(y))\\ = \left| \frac{d}{dy} (\sqrt{y}) \right| \cdot f_Z(\sqrt{y})\\ = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\pi} \exp(-y/2)$$

私たちは基本的な事実、 $\chi_1$ で定義されていません $0$ その時点での二乗演算はフラットであるため $g(0)=0$ したがって $g^{-1}(0)$ 定義されていません（無限）。