合計が1でなければならないという制約の下でのベルヌーイ確率変数の同時分布に関する質問

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仕事で困っています。誰かが私に共同配布をするのを手伝ってくれる？ $n$ ベルヌーイ確率変数ですが、これらの合計が $n$ 確率変数は $1$ 。

この分布を導き出す方法を誰かに教えてもらえますか？

— コーネル
ソース

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これはカテゴリカル分布であり、試行回数が以下に等しい多項分布としても知られています $1$ 。

二項確率が $q_k, \;k=1,\dots n$ 次に、多項確率は

p_{k} = \frac{q_{k} \prod_{j \neq k} (1 - q_{j})}{\sum_{r} q_{r} \prod_{s \neq r} (1 - q_{s})}

$p_k=\frac {q_k\prod_{j\neq k} (1-q_j)}{\sum_r q_r\prod_{s\neq r}(1-q_s)}$

これを導出するには、条件付き確率を使用するだけです $p (A_k|B)=p (A_kB)/p (B)$ どこ $A_k$ イベント「変数 $k$ 等しい $1$ 」と $B$ イベント「すべての合計 $n$ 変数は1 "に等しい。それから両方のためにそれを推定できる $A_k$ そして $B$ 真であるためには、他のすべてのベルヌーイ変数はゼロでなければなりません。この確率は、次の値の分子です。 $p_k$ 先にあげました。その後 $p (B)=\sum_r p (A_rB)$ 全確率と独立の法則と私が与えた分母を使って。

— 確率論的
ソース

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あります $n$ 変数を合計する方法 $1$ ：それらの1つは等しい $1$ その他 $n-1$ ゼロになります。質問のフレージングは、変数が交換可能であることを示しています。したがって、変数が並べ替えられても、共同分布は変化しません。変数の順列はこれらの結果のそれぞれを他の結果に変えるだけなので、それらはすべて同じように可能性があります。その結果、分布はそれらの均一なものになります $n$ 結果、確率あり $1/n$ それぞれの結果について。 これは共同分布を完全に説明しています。

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元の質問は交換可能性も独立性も想定していませんでした。しかし、このようないくつかの仮定をすることなく、私たちが描くことができる唯一の結論は、関節の分布があるということであるいくつかのディストリビューション $n$ 私が説明した可能な結果確率は、 $n$ 確率の公理で要求されるように、合計が1になる非負の値。

— whuber
ソース

OPは私にとって交換可能性にとらわれないようです-RVが同じベルヌーイ分布であるとは言いませんが、

n

$n$ そのうちの。

— 確率論的

@確率これは良い点です。OPは交換可能性を明示的に想定していませんでした。そして再び、彼らは独立を仮定しませんでした-しかし独立がなければ、いかなる価値の何も言うことができません。

— whuber