イベントが「最終的に発生する」とはどういう意味ですか？

整数の1次元ランダムウォークを検討 $\mathbb{Z}$ 初期状態で $x\in\mathbb{Z}$ ：

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

増分は、ここで $\xi_i$ IIDがそのようなことである $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ 。

それを証明することができます（1）

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

ここで、添え字は初期位置を示します。

してみましょう $\tau$ 状態への最初の通過時間が。つまり、です。次のことも証明できます（2） $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

両方の証明はhttp://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdfにあります。記事を読んで、私は両方の証拠を理解しています。

しかし、私の質問は、「最終的に」の意味が最初の文だけでなく一般的に何であるかです。「最終的に」何かが発生した場合、有限時間で発生する必要はありませんか？もしそうなら、実際に発生しないものと、「最終的に」発生しないものの違いは何ですか？ステートメント（1）および（2）は、ある意味で私自身と矛盾しています。このような他の例はありますか？

編集

質問の動機付けを追加したい、つまり、「最終的に」発生するものの単純な例ですが、待機時間は有限です。

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

したがって、歩行者は「最終的に」左に移動し、移動するまでの予想待機時間（つまり、左に移動する）はことがわかります。 $1/(1/2)=2$

「最終的に」発生するが、無限の「待機時間」が予想される何かを見るのは、私の想像を大きく伸ばすものでした。@whuberの応答の後半は、もう1つの素晴らしい例です。

— イェ・ティエン
ソース

最終的には有限時間を意味しません。それはまさに対比されているものです：Pは有限ですが、タウの期待は無限です

— -seanv507

まあ、コーシー分布en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distributionの標準的な例があります。

— seanv507

@ seanv507-はい。ただし、Cauchy分布の平均は無限ではなく未定義です（Cauchy dbnからのサンプル平均は、が+ Infinityに着実に収束するのではなく、無限に近づくにつれてジャンプします）。パレート分布（en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution）を考えていました。形状パラメーターときに平均=無限大でありながら、明確に定義された確率分布関数を持っています。

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— ロバートF

@RobertFありがとう-パレート

— -seanv507

このすべてにある程度の快適さがあります場合、ですが、その逆ではありません。

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— アレックスR.

回答:

「最終的に起こる」イベントをどのように示しますか？仮想の相手と思考実験を行います。あなたの対戦相手は、正の数あなたに挑戦するかもしれません。時間イベントが発生する可能性が少なくともである（ほとんどの場合依存する）を見つけることができれば、勝ちです。 $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

この例では、「」は、ランダムウォークの1つの状態とランダムウォーク全体の両方を参照するために使用するため、誤解を招く表記です。その区別を認識するように注意しましょう。「最終的にに達する」とは、すべてのランダムウォークセットのサブセットを指すことを意味します。各ウォークは無限に多くのステップがあります。時間でのの値はです。「は時間達する」は、時間状態達した歩行ののサブセットを指します。 $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ 。厳しく、セットです

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

架空の対戦相手への応答では、次の特性を持つを展示しています。 $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

は任意であるため、セットのすべての要素を使用できます $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

（リコールことが存在する場合に限り有限のれる存在しないので、この結合に関係する無限の数。） $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

ゲームに勝つ能力は、がどんなに小さくても、この結合がの形式のすべての値を超える確率を持っていることを示しています。その結果、その確率は少なくともです。したがって、等しくなります。そのことを実証するでしょう。 $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

「最終的に発生する」と予想される最初の通過時間が無限であることの違いを理解するための1つの簡単な方法は、より単純な状況を考えることです。以下のため任意の自然数、聞かせ配列であります $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

ここでゼロではものの無限の文字列が続いています。言い換えれば、これらは、原点にとどまり、ポイントまでの（有限の）タイムステップで歩き、その後永遠にそこにとどまる歩行です。 $n$ $1$

ましょう全てのセットでこれらの離散シグマ代数有します。経由で確率測定を割り当てる $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

これにジャンプの機会を作るために設計された時間によりに等しい明らかに密接に任意に接近する、。ゲームに勝ちます。 最終的にジャンプが発生し、それが発生すると、有限の時間になります。 しかし、それが起こると予想される時間は、生存関数の合計です（時間ジャンプしない可能性があります）。 $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

分岐します。これは、ジャンプする前に長時間待機する可能性が比較的大きいためです。

— ヒューバー
ソース

あなたの最初のセクションをイプシロン/デルタ引数まで煮詰めて、基本的に（はステップ後のイベントの確率）と言っていると誤解していますか？

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpmそれはちょうどそれまで沸騰しない：それはあるイプシロン-デルタ引数。この場合、「デルタ」は「」であり、「イプシロン」は「」と書かれており、確率であることを思い出させます。ここでの重点はの有限性にあります。限界は、無限値ではなく、有限値と有限演算によって定義されます。

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

underbraceの説明での使用を提案してくれた匿名ユーザーに感謝します。

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

最終的に何かが発生するということは、それが発生する時点があることを意味しますが、発生する特定の特定の時間を参照していないという意味合いがあります。3週間以内に何かが起こると言った場合、それは最終的に起こるよりも強い声明です。最終的には、「3週間」、「30億年」、「1分」などの時間を指定しません。

— マイケル・ハーディ
ソース