ランダム変数のセットの最小値はどのように分布しますか？

場合は独立した同一に分布する確率変数は、何がの分布について語ったことができている一般的には？$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

X_iの累積分布関数がF（x）で$X_i$示される場合、最小の累積分布関数は1- [1-F（x）] ^ nで与えられます。$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

$X_i$のCDFが$F(x)$で示される場合、最小のCDFは$1-[1-F(x)]^n$与えられます。

推論：$n$確率変数が与えられた場合、確率$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$は、少なくとも1つの$X_i$が$y$より小さいことを意味します。

少なくとも1つの$X_i$が$y$より小さい確率は、1-すべての$X_i$が$y$より大きい確率、つまり$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$。

が独立して同一に分布している場合、すべてのがよりも大きい確率はです。したがって、元の確率はです。$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

例：と、直感的に確率はに等しくなります（最小値は常にから1未満になるため）すべて）。この場合、ため、確率は常に1です。$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndmanは、固定nに対して簡単で正確な答えを出しました。大きなnの漸近的な振る舞いに興味がある場合、これは極値理論の分野で扱われます。制限分布の小さなファミリーがあります。たとえば、この本の最初の章を参照してください。

答え1-（1-F（x））^ nは特別な場合に正しいと思います。特別な場合は、rvのpmfがrvのドメインの式に基づいているという条件です。上記のドメインのさまざまな部分で異なる場合、上記の式は実際のシミュレーション結果から少し外れます。