この例における結合確率と条件付き確率の直感的な違い

この例に出くわしたとき、私は限界密度に関するチュートリアルを読んでいました（言い換え）。

人が通りを横断しているときに、信号機の色に応じて、通過する車にぶつかる確率を計算したいとします。

Hが人に命中するかどうかを、Lを信号の色とする。

したがって、およびです。$H = \{\text{hit, not hit} \}$$L = \{\text{red, yellow, green} \}$

ライトが赤である場合にヒットする確率は、と書くことができます。明らかにこれは条件付き確率です。$P(H = \text{hit}| L = \text{red})$

ライトが何であってもヒットする確率は、ように書くことができます。私が最近理解したように、これは限界です。$P(H = \text{hit})$

どのように言うことができます：。これは同時確率です。それをどのように「素人の文」に翻訳しますか？「当たる確率が赤く光る」とどう違うの？$P(H,L)$

あなたの洞察をありがとう。

あなたは実際にそこにあなたの答えを持っていました。

$P(H=hit)$は限界確率です。「当たる確率」と書いてある。信号に関係なく、通りを横切ってヒットした人の割合です。

$P(H=hit|L=red)$は条件付き確率です。それは「あなたが打撃を受ける確率は、読み込み与えられた光が赤であること」。赤信号で通りを横切る人々の間のヒットの割合です。

最後に、は同時確率です。それは、「人が車にはねされることを確率読み込みと光が赤であることを」。これは、すべての人の中で赤信号にヒットした割合です。$P(H=hit, L=red)$

あなたは確かに関係を知っています

$P(H=hit, L=red) = P(H=hit | L=red) * P(L=red)$

「素人の言葉」では、次のように見ることができます。赤色信号が表示される確率は非常に低いと想定しますが、赤色信号で交差する場合、人々は常に命中します。あなたが通りの脇にいるオブザーバーだとしましょう。あなたは人々が殴られるのを見ます、そして、あなたはめったにあなたは光が赤に変わるのを見ません。通りを横断するすべての人々の中で、彼らが赤灯に当たる可能性は非常に小さいです。なぜなら、彼らはその機会をほとんど持っていないからですはまれなのでは小さいです）。ただし、十分に長く観察すると、最終的には人が赤い光に当たるのがわかり、光が赤い場合は常に、通りを横切る人が必ず当たる（）。$P(H=hit,L=red)$$P(H=hit|L=red)=1$

$H$とは確率変数です。の値をとるとの値取る。この例では、結合分布は、が特定の値をとり、が特定の値とるという2つのことが起こる確率を示します。これを書くこともでき。特定の組み合わせの確率を取得するには、と値をプラグインします。たとえば、$L$$H$$\{ \text{hit, not hit} \}$$L$$\{ \text{red, yellow, green} \}$$P(H, L)$$H$$h$$L$$l$$P(H=h \text{ and } L=l)$$h$$l$$P(H=\text{hit}, L=\text{red})$ 人がヒットし、ライトが赤である確率です。

固定確率の「もの」（たとえば、液体）のような合計確率（合計で1）があると考えることができます。共同分布はこれを取得し、と値のすべての可能な組み合わせに異なる量で分散します。$H$$L$

私はこの例を結合確率の想定値で説明​​しようとしました：

これはすべて視点です。より単純なコンテキストを想像してみてください。長方形のイベントスペース内に2つの異なるイベントAとBがあるとします。イベントスペースを緑と青の円で、重なり合う領域を赤で着色できます。ここで、P（A、B）またはP（A | B）と言っている場合、どちらも赤い領域内のイベントを示しています。しかし、見方は異なります。

P（A、B）の場合、確率は（赤いスペースの面積）/（長方形全体の面積）

P（A | B）の場合、確率は（赤いスペースの面積）/（青い円の面積B）です。

さて、交通シーンを想像してみてください。たとえば、道路を横断している歩行者の数と、衝突した歩行者の数を数えているとします。あなたのカウントは以下の通りです、

緑、黄、赤の信号で道路を横断する歩行者の数= X、Y、Z

緑、黄、赤の信号で道路を横断する際に衝突する歩行者の数= A、B、C

今、P（ヒット、レッド）= C /（X + Y + Z）

P（ヒット|赤）=（C /（X + Y + Z））/（Z /（X + Y + Z））= C / Z

したがって、いずれの場合も、Cを計算するためだけに赤信号で歩行者を数える必要があります。確率P（ヒット、赤）を数えるときは、すべての横断歩行者を数える必要があります。しかし、確率P（Hit | Red）を数える場合、赤いライトが点灯しているときは、横断歩道を数えるだけで済みます。

方程式を必要としない簡単な説明があるかもしれません。

明るい色（限界確率）に関係なく、一部の人々が攻撃を受けます。これらのヒットした人々のうち、一部は赤にヒットします（赤の確率を条件とする）。したがって、総母集団の実際の割合を取得するには、2つを掛けます（結合確率）。

2つの間の直感的な違いは次のとおりです。

1）条件付き確率P（H =ヒット| L =赤）-ライトが赤で人が当たった確率、トラフィックを横断するすべての人を考慮していません。

2）結合確率P（H =ヒット、L =赤）-人がヒットし、ライトが赤になる確率。

主な違い-1）では、サンプルスペースはすべての人々ではありません。赤信号を通過するのはこれらの人々だけです。2）では、サンプルスペースは全員であり、赤信号を通過してヒットする人々の交差が同時確率です。