2つの対数正規確率変数の積

ましょうと 2つの通常のランダムな変数です。書くと、修正のアイデアへ。$X_1$$X_2$$X_1\sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$$X_2\sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$

対応する対数正規確率変数を考慮してください：、。$Z_1 = \exp(X_1)$$Z_2 = \exp(X_2)$

質問：2つの確率変数の積の分布、つまりの分布はですか？$Z_1Z_2$

正規確率変数が独立しているか、2変量正規分布がある場合、答えは簡単ですであり、合計正規分布であるため、積はまだ対数正規です。$X_1, X_2$$Z_1Z_2 = \exp(X_1+X_2)$$X_1+X_2$$Z_1Z_2$

ただし、は一般に独立してと仮定します（相関。の分布について何が言えますか？$X_1, X_2$$not$$\rho$$Z_1Z_2$

とが2変量正規で、とと間の相関である場合、ここでディリップスの回答を使用します$X$$Y$$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$X$ そして $Y$ です $\rho$。その後

したがって $Z_1Z_2$ パラメータ付きの対数正規分布にもなります $\mu_1 + \mu_2$ そして $\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2$。