非iidガウス変量の合計の分布は何ですか？

場合分配される、分布していると、私はそれを知っている分配される XとYが独立している場合。 $X$ $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ $Y$ $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ $Z = X + Y$ $Z$ $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$

しかし、XとYが独立していない場合、つまり $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

これは、合計分布に影響しますか？ $Z$

normal-distribution mathematical-statistics

— JCWong
ソース

ただのための共同のディストリビューションのすべての種類があることを指摘したいと思います他のまだ持っていること変量正規よりとわずかに通常は。そして、この区別は答えに大きな違いをもたらすでしょう。

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKernsとが正常であるが必ずしも一緒に正常であるとは限らない場合、は正規以外の分布を持つ可能性があることに同意します。しかし、OPのステートメントは、「と

が独立している場合はます。」絶対に正しいです。場合

及び

（文の第二部分に想定通り）わずかに（文の最初の部分が言うように）正常と独立しており、それらはまた、共同で正常です。OPのでは質問、関節の正常明示的となると想定されるあらゆるの線形結合

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Z

$Z$

N (μ_{x} + μ_{y}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$ と

Y

$Y$ は正常です。

— ディリップサルワテ

@Dilip、質問に何の問題もないこと、そしてあなたの答え（+1）（または確率、どちらか（+1））に何の問題もないことを明確にさせてください。

X

$X$ と

Y

$Y$ が依存している場合、それらが一緒に正常である必要はなく、OPがその可能性を考慮したかどうかは明確ではないことを単に指摘していました。さらに、他の仮定（共同正規性など）がなければ、質問は答えられないかもしれないと思います（多くの時間を費やしていませんが）。

@ G.JayKernsが言及しているように、もちろん、分散法線を共同ではなくわずかに考慮すると、あらゆる種類の興味深い動作を得ることができます。以下に簡単な例を示します：を標準正規とし、、それぞれ確率1/2のとします。してみましょう。その場合、も標準法線ですが、は確率1/2でゼロに正確に等しく、確率1/2で等しくなります。

X

$X$

ε = \pm 1

$\varepsilon = \pm 1$

X

$X$

Y = ε X

$Y = \varepsilon X$

Y

$Y$

Z = X + Y

$Z = X+Y$

2 X

$2X$

— 枢機

Sklarの定理を介して関連付けられた2変量コピュラを検討することにより、さまざまな異なる動作を得ることができます。ガウスコピュラを使用する場合、はともに正規であるため、は正規分布になります。コピュラがガウスコピュラでない場合、とはそれぞれ正規分布としてわずかに分布しますが、一緒に正規分布ではないため、一般に合計は正規分布しません。

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

Z = X + Y

$Z = X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

— 枢機

回答:

この質問に対する確率論の回答に関する私のコメントをご覧ください。ここで、ここではと共分散です。共分散行列の非対角要素をとして書き込みます。非対角要素は負の共分散です。

\begin{aligned} X + Y & \sim N (μ_{X} + μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X, Y}) \\ a X + b Y & \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y}, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2} + 2 a b σ_{X, Y}) \end{aligned}

$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$

σ_{X, Y}

$\sigma_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{x y}^{2}

$\sigma_{xy}^2$

— ディリップ・サルワテ
ソース

@コロジストありがとう！タイプミスが4年以上も気づかれていなかったことに驚いています。

— ディリップサルウェート

@dilipの答えで十分ですが、結果を得る方法について詳細を追加すると思いました。特性関数の方法を使用できます。いずれかのための次元の多変量正規分布ここで、と $d$ $X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$ $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$ 、特性関数は次のように与えられます： $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$

φ_{X} (t) = E [\exp (i t^{T} X)] = \exp (i t^{T} μ - \frac{1}{2} t^{T} Σ t)

$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$

= \exp (i \sum_{j = 1}^{d} t_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} t_{j} t_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$

1次元の通常の変数のために我々が得ます： $Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

φ_{Y} (t) = \exp (i t μ_{Y} - \frac{1}{2} t^{2} σ_{Y}^{2})

$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$

ここで、新しいランダム変数を定義するとします。あなたの場合、とです。の特性関数は、の特性関数と基本的に同じです。 $Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$ $d=2$ $a_1=a_2=1$ $Z$ $X$

φ_{Z} (t) = E [\exp (i t Z)] = E [\exp (i t a^{T} X)] = φ_{X} (t a)

$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$

= \exp (i t \sum_{j = 1}^{d} a_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} t^{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} a_{j} a_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$

我々は、特性関数を用いてこの特性関数を比較すると我々は、彼らが同じであることがわかり、しかしとによって置換されているとでで置き換えられています $\varphi_Y(t)$ $\mu_Y$ $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ $\sigma_Y^2$ $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$ 。したがって、の特性関数はの特性関数と同等であるため、分布も等しくなければなりません。したがって、は正規分布です。私たちは、ことを注目することによって、分散のための式を簡素化することができと我々が得ます： $Z$ $Y$ $Z$ $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{d} a_{j}^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{d} \sum_{k = 1}^{j - 1} a_{j} a_{k} Σ_{j k}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$

$\Sigma_{jj}=var(X_j)$ and $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$ . Now if we specialise to $d=2$ and $a_1=a_2=1$ , the above formula becomes:

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} (1)^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{2} \sum_{k = 1}^{j - 1} (1) (1) Σ_{j k} = Σ_{11} + Σ_{22} + 2 Σ_{21}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$

— probabilityislogic
ソース

+1 Thanks for taking the time to write out the details. Can this question be made part of the FAQ?

— Dilip Sarwate