ジェフリーズ・プライアーズと分散安定化変換の背後にある関係は何ですか？

私はウィキペディアでジェフリーズ・プリアーについて読んでいた：ジェフリーズ・プリアー。各例の後、分散安定化変換がジェフリーズ・プリアーを均一なプリアーに変える方法を説明していることを見た。

例として、ベルヌーイの場合、確率がである硬貨の場合、ベルヌーイ試行モデルは、パラメータジェフリーズ事前分布が次のようになることを示します。$\gamma \in [0,1]$$\gamma$

$$p(\gamma) \propto \frac{1}{\sqrt{\gamma ( 1-\gamma)}}$$

そして、これはベータ分布であると述べています。また、場合、のジェフリーズ事前は区間均一であると述べています。$\alpha = \beta = \frac{1}{2}$$\gamma = \sin^2(\theta)$$\theta$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

変換は分散安定化変換の変換として認識しています。私を混乱させるのは：

1. なぜ分散安定化変換が均一な事前分布をもたらすのでしょうか？

2. なぜ私たちは前もって統一したいのでしょうか？（不適切である可能性が高いと思われるため）

一般に、なぜ二乗正弦変換が行われ、どのような役割を果たしているのかはよくわかりません。誰にもアイデアはありますか？

ジェフリーズの事前分布は、再パラメーター化のもとでは不変です。そのため、多くのベイジアン人はそれを「情報価値のない事前」であると考えています。（Hartigan氏は、このような事前分布の全体のスペースがあることを示したためあるジェフリーズの事前及びあるHartigan氏の漸近局所不変前- 不変事前分布） $J^\alpha H^\beta$$\alpha + \beta=1$$J$$H$

ユニフォーム事前分布は情報価値がないということはしばしば繰り返されますが、パラメーターの任意の変換後、新しいパラメーターのユニフォーム事前分布はまったく異なることを意味します。パラメータ化の任意の変更が事前分布に影響を与える場合、事前分布は明らかに有益です。

1. 定義により、ジェフリーズを使用することは、分散安定化変換を適用した後にフラット事前を使用することと同等です。

2. 数学的な観点から、ジェフリーズ事前分布を使用することと、分散安定化変換を適用した後にフラット事前分布を使用することは同等です。人間の観点からは、後者はおそらく、パラメータ空間のどこにいても差がすべての方向で同じであるという意味でパラメータ空間が「均一」になるため、より良いでしょう。

ベルヌーイの例を考えてみましょう。テストで99％を採点すると、90％が50％であるのと同じ距離が90％になるのは少し変ではありませんか？分散安定化変換の後、前のペアは分離されるはずです。これは、空間内の実際の距離に関する直感に一致します。（数学的には、分散安定化変換により、対数損失の曲率が単位行列に等しくなります。）

Wikipediaのあなたが提供したページには、本当に用語「分散安定化変換」を使用していません。「分散安定化変換」という用語は、一般に、ランダム変数の分散を定数にする変換を示すために使用されます。ベルヌーイの場合、これは変換で起こっていることですが、それは正確には目標ではありません。目標は、分散を安定させる単なる分散ではなく、均一な分布を取得することです。

ジェフリーズ・プリアーを使用する主な目的の1つは、変換時に不変であることを思い出してください。つまり、変数を再パラメーター化しても、事前分布は変更されません。

1。

あなたが指摘したように、このベルヌーイ事件のジェフリーズ以前はベータです。 $(1/2, 1/2)$

$$p_{\gamma}(\gamma) \propto \dfrac{1}{\sqrt{\gamma(1-\gamma)}}.$$

で再パラメータ化すると、分布を見つけることができます。最初にを確認し、、ます。ことを思い出してください。 $\gamma = \sin^2(\theta)$$\theta$$\theta = \arcsin(\sqrt{\gamma})$$0 < \gamma < 1$$0 < \theta < \pi/2$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

$$\begin{align*} F_{\theta}(x) & = P(\theta < x)\\ & = P(\sin^2(\theta) < \sin^2(x))\\ & = P(\gamma < \sin^2(x))\\ & = F_{\gamma}(\sin^2(x))\\ f_{\theta}(x) & = \dfrac{d F_{\gamma}(\sin^2(x)}{d x}\\ & = 2\sin(x)\cos(x)\,p_{\gamma}(\sin^2(x))\\ & \propto \sin(x)\cos(x) \dfrac{1}{\sqrt{\sin^2(x)(1 - \sin^2(x))}}\\ & =1. \end{align*}$$

したがって、はの一様分布です。これが、変換が使用される理由です。そのため、再パラメーター化により均一な分布が得られます。現在、均一分布はジェフリーズ事前分布です（ジェフリーズ事前分布は変換中は不変であるため）。これで最初の質問に答えます。$\theta$$(0, \pi/2)$$\sin^2(\theta)$$\theta$

2。

多くの場合、ベイジアン分析では、パラメータの分布に関する十分な情報または事前知識がない場合、均一な事前が必要です。このような事前分布は、「事前拡散」または「事前優先度のデフォルト」とも呼ばれます。アイデアは、他の値よりも多くパラメータ空間の値にコミットしないことです。そのような場合、事後はデータの尤度に完全に依存します。以来、

$$q(\theta|x) \propto f(x|\theta) f(\theta) \propto f(x|\theta).$$

変換によって、変換された空間が制限される場合（この例ではなど）、均一な分布が適切になります。変換された空間が無制限の場合、一様な事前分布は不適切になりますが、多くの場合、結果の後方は適切になります。ただし、これが事実であることを常に確認する必要があります。$(0, \pi/2)$