もし

7

変数があり、分散が有限であることを知っています（したがって、平均も有限です）。スケーリングした後、その分散が有限のままであることは常に真実ですか？ $X$ $0 \le Y \le 1$

とは必ずしも独立しているとは限らないことに注意してください。 $X$ $Y$

編集：私は「最悪の場合」と考えているあるたびとたびいくつかのために、（およびミラーリングの場合）？ $Y$ $0$ $X < c$ $1$ $X \ge c$ $c$

mathematical-statistics variance bounds

— アーロン・フェルカー
ソース

です

Y

$Y$ 確率変数？

— Greenparker 2016

はい、しかしそれは

X

$X$ 。

— Aaron Voelker、2016

11

まったく自明な不等式は、このような状況で非常に役立つことがあります。

E (X^{2} Y^{2}) \leq E (X^{2}) sup (Y^{2})

$\mathbb{E}(X^2Y^2) \le \mathbb{E}(X^2)\sup(Y^2)$ 。（これは、おそらく最も簡単な特殊なケースであるヘルダーの不等式のためにに適用及び）

p = 1, q = \infty

$p=1,q=\infty$

X^{2}

$X^2$

Y^{2}

$Y^2$

— whuber

ありがとうwhuber。これが正しい解決策につながると思います（私が行った答えを参照してください）！

— Aaron Voelker 2016年

回答:

7

コメントで指摘されているように、とは独立していると想定しているため、私はkjetilの回答を受け入れませんでした。 $X$ $Y$

とが依存している場合は、whuberの提案を使用して、次の回答が機能するはずです。 $X$ $Y$

\begin{aligned} Var （ バツ Y ） & = E （ （ バツ Y ）^{2} ） - E （ バツ Y ）^{2} \\ \leq E （ {バツ}^{2} Y^{2} ） \\ \leq E （ {バツ}^{2} ） sup （ Y^{2} ） \\ = E （ {バツ}^{2} ） \\ = Var （ バツ ） + E （ バツ ）^{2} \\ < \infty \end{aligned}

$\begin{align} \text{Var}(XY) &= E((XY)^2) - E(XY)^2 \\ &\le E(X^2Y^2) \\ &\le E(X^2)\sup(Y^2) \\ &= E(X^2) \\ &= \text{Var}(X) + E(X)^2 \\ &< \infty \end{align}$

結果は任意の有界も適用されることに注意してください（は有限であるため）。 $Y$ $\sup(Y^2)$

— アーロン・フェルカー
ソース

また、

| E (X Y) | \leq \sqrt{Var (X) + E (X)^{2}}

$|E(XY)| \le \sqrt{\text{Var}(X) + E(X)^2}$ 、以来

Var (X Y) \geq 0 ⟹ E (X Y)^{2} \leq E ((X Y)^{2})

$\text{Var}(XY) \ge 0 \implies E(XY)^2 \le E((XY)^2)$ 。

— Aaron Voelker、2016年

2

kjetilが独立を仮定したとは思わない

X

$X$ そして

Y

$Y$ 。完全変動の法則は一般に成り立ち、独立を仮定していません。だから私は彼の声明には独立を前提とするものは何もありません。また、あなたの結論はkjetilの回答に基づいた私の結論とまったく同じであることに注意してください。

— Greenparker 2016年

2

独立性はどこかで使用されていたはずです（期待を除外するときに私は推測します）。そうでなければ、（私のコメントに示されているように）回答からの最初の方程式は、

Var (X Y)

$\text{Var}(XY)$ かどうかは同じです

X

$X$ そして

Y

$Y$ 独立している、これは矛盾です。同じ結論に達したという事実は、どちらも上限を与えているため、「一致」のようなものです。私を落とすことから来る

E (X Y)^{2}

$E(XY)^2$ 期間と

Y^{2} \leq sup (Y^{2})

$Y^2 \le \sup(Y^2)$ 、あなたの出身は

Var (Y), E (Y^{2}) \leq sup (Y^{2})

$\text{Var}(Y), E(Y^2) \le \sup(Y^2)$ 。

— Aaron Voelker、2016年

1

私はkjetilが独立を使用している場所を理解したと思います。総分散の法則

V a r (X Y) = V a r (E (X Y | Y)) + E (V a r (X Y | Y))

$Var(XY) = Var(E(XY|Y)) + E(Var(XY|Y))$ 。最初の用語だけを見れば

V a r (E (X Y ∣ Y)) = V a r (Y^{2} E (X ∣ Y))

$Var(E(XY \mid Y)) = Var(Y^2E(X \mid Y))$ それは同じではありません

V a r (Y^{2} E (X))

$Var(Y^2E(X))$ 。それはいつでも同じです

X

$X$ そして

Y

$Y$ 独立しています。

— Greenparker 2016年

変更を反映するために答えを変更しました。

— Greenparker 2016年

5

数式を使用する必要があります

V （ バツ Y ） = E （ V （ バツ Y | Y ） ） + V （ E （ バツ Y | Y ） ）

$\DeclareMathOperator{\Var}{\mathbb{V}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \Var (XY) = \E (\Var (XY | Y)) + \Var (\E (XY | Y))$ どこ

V

$\Var$ 分散演算子です。期間をとって、書きなさい

μ = E X, σ^{2} = V X

$\mu=\E X, \sigma^2=\Var X$ 、

E (X Y | Y = y) = E (y X) = y E (X) = μ y

$\E (XY | Y= y) = \E (yX) = y \E (X) =\mu y$ 分散あり（以上

Y

$Y$ ）

V (μ Y)

$\Var (\mu Y)$ それは有限です

Y

$Y$ 有界です。

次に、他の用語、 $\Var (XY | Y=y) = \Var (yX) = y^2 \Var (X) = \sigma^2 y^2$ それはまた、有限の期待を持っています $Y$ 有界です。答えはイエスです。

— kjetil b halvorsen
ソース

1

いいね。私の理解を確認するために、これは全分散の法則を使用していますか？また、これはより一般的なことを証明しているようです：分散

X Y

$XY$ 両方の分散がある限り、有限です

X

$X$ そして

Y

$Y$ 有限ですか？

— Aaron Voelker、2016

1

@Aaron Voelker：計算に独立性は必要ありません。

— kjetil b halvorsen

2

ゆうたろう

E (X Y ∣ Y = y) = E (y X)

$\mathbb{E}(XY \mid Y=y) = \mathbb{E}(yX)$ いくつかの仮定（独立など）がないと成り立たない。

— Juho Kokkala 2016年

1

@ジュホ

E (1 X) = E (X) = 0.5

$\mathbb{E}(1 X) = \mathbb{E}(X)=0.5$ も。関係

E (X Y ∣ Y = y) = E (X) y

$\mathbb{E}(XY\mid Y=y)=\mathbb{E}(X)y$ 「既知のものを取り出す」と呼ばれる非常に一般的な定理の例です。それはの独立を必要としません

(X, Y)

$(X,Y)$ 。en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation#Basic_propertiesを参照してください。

— whuber

1

@Juhoすみません、私のコメントは愚かでした。もちろん、条件付きの期待値を

E (X Y ∣ Y = y) = E (X ∣ Y = y) y

$\mathbb{E}(XY\mid Y=y)=\mathbb{E}(X\mid Y=y) y$ 。どういうわけか、私はこれらの期待が自動的に条件付きであると自動的に理解しました。

— whuber

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