中央極限定理の動的システムビュー？

（元々MSEに投稿されました。）

古典的な中心極限定理のヒューリスティックな議論の多くは、確率密度の空間における「アトラクター」として正規分布（または任意の安定した分布）を語っています。たとえば、Wikipediaの扱いの最上位にあるこれらの文を考えてみましょう。

より一般的な使用法では、中心極限定理は確率論における弱収束定理のセットのいずれかです。それらはすべて、多くの独立した同一に分布した（iid）ランダム変数、または特定の種類の依存関係を持つランダム変数の合計が、アトラクタ分布の小さなセットの1つに従って分布する傾向があるという事実を表しています。iid変数の分散が有限の場合、アトラクタ分布は正規分布です。

この動的システム言語は非常に暗示的です。フェラーはまたに（つまり、言語のソースである場合、私の不思議）彼の第二のボリュームにCLTの彼の治療に「魅力」のことを話す、とのYuval Flimus このノートさえ話す「の魅力の流域。」（私は彼が本当に「の正確な形式意味はないと思うの魅力の流域は、」の正確な形式推論事前にある「のではなくアトラクターが演繹事前にある」;まだ、言語があります。）私の質問は次のとおりです。これらのことができます動的なアナロジーを正確にできますか？多くの本は、正規分布が畳み込み下での安定性（およびフーリエ変換下での安定性）に特別であることを強調しているが、私はそれらの本を知らない。これは基本的に、固定小数点であるため、法線が重要であることを示しています。CLTはさらに進んで、固定小数点ではなく、アトラクタであることを示しています。

この幾何学的な図を正確にするために、位相空間を適切な無限次元関数空間（確率密度の空間）とし、進化演算子を初期条件で畳み込みを繰り返すことを想像します。しかし、私はこの絵をうまく機能させるために必要な技術や、追求する価値があるかどうかについては理解していません。

私はこのアプローチを明確に追求する治療法を見つけることができないので、それができる、または面白いという私の感覚に何か間違っているに違いないと思います。その場合は、その理由を聞きたいです。

編集：Math Stack ExchangeとMathOverflowには、読者が興味を持ちそうな3つの同様の質問があります。

• いくつかの分布空間（MO）の固定小数点としてのガウス分布
• 最大エントロピー（MO）による中心極限定理
• いくつかの不動点定理による中心極限定理の証明はありますか？（MSE）

Kjetilの答えに勇気付けられて文献を掘り下げた後、Y。Sinaiの本に加えて、CLTへの幾何学的/動的システムアプローチを真剣に検討している参考文献をいくつか見つけました。興味があるかもしれない他の人のために見つけたものを投稿していますが、この視点の価値について専門家から聞いてみたいと思います。

最も重要な影響は、チャールズ・スタインの作品から来たようです。しかし、私の質問への最も直接的な答えは、分布関数の空間にメトリックを置き、畳み込みが収縮を生成し、それが固有の固定小数点として正規分布をもたらすHamedaniとWalterからのものであるようです。

• M. Anshelevich、自由確率理論における中心極限演算子の線形化、arXiv：math / 9810047v2。
• LHY Chen、L。Goldstein、およびQ. Shao、スタインの方法による標準近似、Springer、2011年。
• JAゴールドスタイン、中心極限定理および他の分析定理の半群理論的証明、半群フォーラム12（1976）、no。3、189–206。
• GG HamedaniとGG Walter、不動点定理とその中心極限定理への応用、Arch。数学。（バーゼル）43（1984）、no。3、258–264。
• S. Swaminathan、中心極限定理の固定小数点理論的証明、固定小数点理論と応用（Marseille、1989）、Pitman Res。ノート数学。Ser。、vol。252、ロングマン科学。Tech。、Harlow、1991、pp。391–396。Karl Stromberg、アナリストの確率、114ページに引用。

2018年10月19日に追加。

この観点の別の情報源は、オリバー・ニールの確率とアプリケーションによる確率的プロセスです。11（強調を追加）：

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$。これは他の状況でも機能します。たとえば、円値のランダム変数の場合、均一分布はエントロピーを最大化します。したがって、制限分布として均一な分布を持つ円値のランダム変数の中心的な制限定理があることは驚くべきことではありません。

Y Sinai（Springer）による「確率論入門講座」というテキストは、このようにCLTについて論じています。

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

アイデアは（メモリから...）

1）正規分布はエントロピーを最大にします（固定分散の分布の中で）2）平均化演算子 $A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$分散を維持し、エントロピーを増加させます...そして残りはテクニックです。したがって、演算子の反復の動的システム設定を取得します。