二変量中央値のデータと信頼 "楕円"（領域？）を見つけますか？

二変量中央値の周りのデータと信頼楕円を計算する方法について疑問に思っています。たとえば、次のデータの二変量平均のデータ楕円または信頼楕円を簡単に計算できます（ここではデータ楕円のみを示しています）。

library("car")
set.seed(1)
df <- data.frame(x = rnorm(200, mean = 4, sd = 1.5),
                 y = rnorm(200, mean = 1.4, sd = 2.5))
plot(df)
with(df, dataEllipse(x, y, level = 0.68, add = TRUE))

しかし、私は二変量中央値に対してこれをどのように行うのかと苦労していますか？単変量の場合、リストラップをブートストラップして必要な間隔を生成することができますが、これを二変量の場合に変換する方法がわかりませんか？

@Andy Wが指摘したように、中央値は一意に定義されていません。この例では、そのポイントでの観測間の距離のL1ノルムを最小化するポイントを見つけることにより、空間中央値を使用しました。観測されたデータポイントから空間中央値を計算するために最適化が使用されました。

さらに、実際のユースケースにおけるx、yデータペアは、非類似度マトリックスの主座標分析の2つの固有ベクトルであるため、特定の攻撃手段を提供する場合、xとyは直交している必要があります。

実際の使用例では、ユークリッド空間の点のグループのデータ/信頼楕円を計算します。例えば：

分析は、グループ間の分散の均一性のリーベン検定の多変量類似体です。多変量中心傾向の尺度として空間中央値または標準グループの重心を使用し、空間中央値の場合の上の図のデータ楕円に相当するものを追加します。

これはいい質問です。

@amoebaの提案に従い、depth::med()with を使用して空間中央値をブートストラップしmethod="Spatial"ます。ただし、少し複雑です。medデータポイントが重複している場合は気に入らないため、簡単なブートストラップは実行できません。代わりに、ブートストラップサンプルを描画し、空間の中央値を計算する前に、各ポイントをわずかな量（元のデータサンプルのと各次元の最小距離未満）だけジッターします。$x$$y$

最後に、ブートストラップされた中央値の指定された比率（95％）をカバーする最小の楕円を計算してプロットします。

library(depth)      # for med()
library(MASS)           # for cov.rob()
library(cluster)    # for ellipsoidhull()

# create data
set.seed(1)
df <- data.frame(x = rnorm(200, mean = 4, sd = 1.5),
                 y = rnorm(200, mean = 1.4, sd = 2.5))

# find minimum distances in each dimension for later jittering
foo <- outer(X=df$x,Y=df$x,FUN=function(xx,yy)abs(xx-yy))
delta.x <- min(foo[upper.tri(foo)])/2
foo <- outer(X=df$y,Y=df$y,FUN=function(xx,yy)abs(xx-yy))
delta.y <- min(foo[upper.tri(foo)])/2

# bootstrap spatial medians, using jittering
n.boot <- 1000
pb <- winProgressBar(max=n.boot)
boot.med <- matrix(NA,nrow=n.boot,ncol=2)
for ( ii in 1:n.boot ) {
    setWinProgressBar(pb,ii,paste(ii,"of",n.boot))
    index <- sample(1:nrow(df),nrow(df),replace=TRUE)
    bar <- df[index,] + 
      data.frame(x=runif(nrow(df),-delta.x,delta.x),
                 y=runif(nrow(df),-delta.y,delta.y))
    boot.med[ii,] <- med(bar,method="Spatial")$median
}
close(pb)

# specify confidence level
pp <- 0.95

# find smallest ellipse containing the specified proportion of bootstrapped medians
fit <- cov.rob(boot.med, quantile.used = ceiling(pp*n.boot), method = "mve")
best_ellipse <- ellipsoidhull( boot.med[fit$best,] )

plot(df)
points(boot.med,pch=19,col="grey",cex=0.5)
points(df)
lines(predict(best_ellipse), col="red")
legend("bottomright",bg="white",pch=c(21,19,NA),
    col=c("black","grey","red"),pt.bg=c("white",NA,NA),lwd=c(0,0,1),
    legend=c("Observations","Bootstrapped medians","Confidence ellipse"))

最後に、2変量の空間中央値は漸近的に正規分布していることに注意してください（Brown、1983、JRSS、Series B）。したがって、上記の「ジッターブートストラップ」を省略して、楕円を直接計算し、が「十分に漸近的」であると信頼できます。 」次の日の時間があれば、この投稿を編集して、このパラメトリック信頼楕円を含めることができます。$n=200$