逆共分散行列がスパースである場合、共分散行列について何と言えますか？

逆共分散行列のスパース条件は、実際の共分散行列にどのように影響しますか？

Yairによって既にコメントされているように、実際の共分散行列に影響する逆共分散行列の特定のスパース条件はありません。逆も同様です。トリビアルスパースマトリックスパターン（つまり、対角）以外のものは、特定のマトリックスとその逆行列の両方に反映されるという保証はありません。三重対角行列でも、スパースでない逆行列を簡単に持つことができます。

マトリックスのスパース性がブロックで発生する特定のケースでは、次のように述べるブロックマトリックスの疑似逆アルゴリズムから生じるいくつかの結果を導き出すことができる場合があります。

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

しかし、それはおそらくそれについてです（純粋に逸話的に、私はPSD行列のコレスキー分解を通じてスパースパターンを課そうとしましたが、試行錯誤の試みに失敗しました）。また、いくつかの隣接機能が共分散行列に反映されることが予想される場合は、Cuthill–McKeeアルゴリズム（CM）の調査を検討することもできます。CMアルゴリズムは、対称スパースパターンを持つスパースマトリックスを小さな帯域幅のバンドマトリックス形式に置換します。これにより、逆マトリックスの非対角のエントリに対してスパース性を維持するのに役立ちますが、これは保証されません。（CMを適用する-妥当な場合-は、特定のアプリケーション（たとえば、2D平滑化ルーチン）に非常に役立ち、計算を大幅にスピードアップする可能性があります。）