火星攻撃（ミサイルで

地球が火星の宇宙船に攻撃されたと仮定し、宇宙船に対してミサイルを発射するとします。各ミサイルが各宇宙船に命中して破壊する確率は（他のミサイルとは無関係です）。 $n$ $m=k \cdot n$ $n$ $p$

すべてのミサイルを同時にリリースするが、各ミサイルがランダムに宇宙船を選択する場合、すべての宇宙船を破壊する確率はどのくらいですか？

— will198
ソース

このプロセスの同等のモデルは、最初に宇宙船をボトルに入れることです。破壊された船の数をゼロに設定します。ミサイル列挙します。ミサイルターゲットとなる船を決定するには、ボトルをよく振り、ボトルからランダムに船を引きます。確率、破棄済みとしてマークします。それ以外の場合は、そのマーキングを変更しないでください。最初は無傷で、現在は破壊されているとマークされている場合は、破壊された船の数を増やします。この船をボトルに戻し、繰り返します。 $n$ $1, 2, \ldots, m$ $i$ $p$

これは、回の反復で実行されるカウントマルコフ連鎖を表します。後船が破壊されている、別のは破壊される可能性（それによって状態から遷移する状態に）（存在その崩壊していない船舶を選択する機会となり）ことを破壊回数チャンス船（これは）。あれは、 $0, 1, \ldots, n$ $m$ $i$ $i$ $i+1$ $n-i$ $p$

Pr (i \to i + 1) = \frac{n - i}{n} p .

$\Pr(i\to i+1) = \frac{n-i}{n} p.$

それ以外の場合、チェーンは状態ままです。初期状態はです。興味の中心は、回の反復後に状態になる可能性です。 $i$ $i=0$ $n$ $m$

これらの確率の遷移行列、ここではからへの遷移を行う確率であり、簡単に対角化します。 $\mathbb{P}$ $\mathbb{P}_{ij}$ $i$ $j$

\begin{aligned} P & = (\begin{matrix} 1 - p & p & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \frac{n - 1}{n} p & \frac{n - 1}{n} p & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \frac{n - 2}{n} p & \frac{n - 2}{n} p & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 - \frac{1}{n} p & \frac{1}{n} p \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ = V (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n - p}{n} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n - 2 p}{n} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \frac{n - (n - 1) p}{n} & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \frac{n - n p}{n} \end{matrix}) V^{- 1} \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P} & = \pmatrix{1-p & p & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1-\frac{n-1}{n}p & \frac{n-1}{n}p & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \frac{n-2}{n}p & \frac{n-2}{n}p & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 - \frac{1}{n}p & \frac{1}{n}p \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1} \\ &=\mathbb{V} \pmatrix{1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n-p}{n} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n-2p}{n} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{n - (n-1)p}{n} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \frac{n - np}{n}} \mathbb{V}^{-1} }$

どこ

V = (\begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{2}) & \dots & (\binom{n}{n - 1}) & (\binom{n}{n}) \\ (\binom{n - 1}{0}) & (\binom{n - 1}{1}) & (\binom{n - 1}{2}) & \dots & (\binom{n - 1}{n - 1}) & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ (\binom{1}{0}) & (\binom{1}{1}) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ (\binom{0}{0}) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{matrix})

$\mathbb{V} = \pmatrix{\binom{n}{0} & \binom{n}{1} & \binom{n}{2} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n} \\ \binom{n-1}{0} & \binom{n-1}{1} & \binom{n-1}{2} & \cdots & \binom{n-1}{n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \binom{0}{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0}$

パスカルの三角形です。逆は、

V^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & (\binom{0}{0}) \\ 0 & 0 & \dots & 0 & (\binom{1}{1}) & - (\binom{1}{0}) \\ 0 & 0 & \dots & (\binom{2}{2}) & - (\binom{2}{1}) & (\binom{2}{0}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & (\binom{n - 1}{n - 1}) & \dots & (- 1)^{n - 1 + 2} (\binom{n - 1}{2}) & (- 1)^{n - 1 + 1} (\binom{n - 1}{2}) & (- 1)^{n - 1 + 0} (\binom{n - 1}{0}) \\ (\binom{n}{0}) & - (\binom{n}{1}) & \dots & (- 1)^{n + 2} (\binom{n}{2}) & (- 1)^{n + 1} (\binom{n}{2}) & (- 1)^{n + 0} (\binom{n}{0}) \end{matrix})

$\mathbb{V}^{-1} = \pmatrix{0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \binom{0}{0} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \binom{1}{1} & -\binom{1}{0} \\ 0 & 0 & \cdots & \binom{2}{2} & -\binom{2}{1} & \binom{2}{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \binom{n-1}{n-1} & \cdots & (-1)^{n-1+2}\binom{n-1}{2} & (-1)^{n-1+1}\binom{n-1}{2} & (-1)^{n-1+0}\binom{n-1}{0} \\ \binom{n}{0} & -\binom{n}{1} & \cdots & (-1)^{n+2}\binom{n}{2} & (-1)^{n+1}\binom{n}{2} & (-1)^{n+0}\binom{n}{0} }$

その中心（対角）行列をと書くと、 $\Lambda$

Λ_{j j} = \frac{n - j p}{n} .

$\Lambda_{jj} = \frac{n-jp}{n}.$

回の反復の行列は次とおりです。 $m$

\begin{matrix} (*) & P^{m} = {(V Λ V^{- 1})}^{m} = V Λ^{m} V^{- 1} \end{matrix}

$\mathbb{P}^m = \left(\mathbb{V \Lambda V^{-1}}\right)^m = \mathbb{V} \Lambda^m \mathbb{V}^{-1}\tag{*}$

そして、明らかに、

(Λ^{m})_{j j} = Λ_{j j}^{m} = {(\frac{n - j p}{n})}^{m} .

$(\Lambda^m)_{jj} = \Lambda_{jj}^m = \left(\frac{n-jp}{n}\right)^m.$

乗算行う我々は見つけるに $*$

\begin{matrix} (**) & {(P^{m})}_{0 n} = \sum_{j = 0}^{min (m, n)} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) {(\frac{n - j p}{n})}^{m} . \end{matrix}

$\left(\mathbb{P}^m\right)_{0n} = \sum_{j=0}^{\min(m,n)} (-1)^j \binom{n}{j} \left(\frac{n-jp}{n}\right)^m.\tag{**}$

これは、状態開始した後に状態になる可能性です。これは、場合はゼロであり、その後、次数多項式の倍になります（次数からゼロ以外の項を使用）。ただし、が多すぎる場合（約から程度）、合計の累乗は指数関数で近似できます。 $n$ $0$ $m=0, 1, \ldots, n-1$ $p^n$ $m-n$ $0$ $m-n$ $n/p$ $10$ $20$ $**$

{(\frac{n - j p}{n})}^{m} = {(1 - \frac{j p}{n})}^{m} \approx {(e^{- m p / n})}^{j},

$\left(\frac{n - jp}{n}\right)^m = \left(1 - \frac{j p}{n}\right)^m \approx \left(e^{-m p / n}\right)^j,$

これは、二項定理を介して合計することができ、

{(P^{m})}_{0 n} \approx {(1 - e^{- m p / n})}^{n} .

$\left(\mathbb{P}^m\right)_{0n} \approx \left(1 - e^{-m p / n}\right)^n .$

（と両方が大きい場合、これはさらにとして概算できます。） $m p /n$ $n$ $\exp\left(e^{-mp}\right)$

説明のために、このグラフィックはの正しい値を青で、近似値を赤でプロットしています。ここで、およびです。違いはせいぜい数パーセントです。 $m \le 100$ $n=5$ $p=1/3$

近似は、すべての船を一掃する可能性が高いを推定するために使用できます。その可能性を少なくともにしたい場合は、を選択して、 $m$ $1 - \varepsilon$ $m$

$m p / n$ は大げさで、
$m \approx n (\log(n) - \log(\varepsilon))/ p$ 。

これは、近似の1次テイラー級数式から得られます。たとえば、図の例ですべての船を一掃する可能性がとします。次に、および $95\%$ $\varepsilon = 0.05$

m \approx 5 (\log (5) - \log (0.05)) / (1 / 3) = 69.

$m \approx 5(\log(5) - \log(0.05)) / (1/3) = 69.$

はそれほど大きくないことに注意してください。実際、おおよその確率はが、正しい確率はです。 $m p / n = 69(1/3)/5 = 4.6$ $95.07\%$ $95.77\%$

これは、修正されたクーポンコレクターの問題です。この問題では、見つかった各クーポンの有用性がしかありません。ここで使用する方法は、任意のについて破壊された船の分布全体を生成します。の最初の行を調べてください。 $p$ $m$ $\mathbb{P}^m$

— whuber
ソース

私もそうしました：明らかに、は「フィッシャー分布」の分布関数を一般化します。stats.stackexchange.com/questions/203410を参照してください。フィッシャーのオリジナル（1929）の論文のコピーはPDF形式でhekyll.services.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15201/1/…から入手できます。

(* *)

$(**)$

ξ

$\xi$

— whuber

ほかのクーポンコレクターの問題。この問題はまたに関し、占有問題や指数関数による近似はPoissonizationここで行わに関し、math.stackexchange.com/a/631534/466748 （彼は、これらの問題の多くを行いますので、@Benへのping）

— Sextus Empiricus

@Martijn指摘していただきありがとうございます。同じマルコフ連鎖が占有問題にも現れます。

— whuber

また、最初の確率と最後のセル確率で、セルにボールが分布する多項分布としてこれにアプローチすることもできると思います。次に、問題を組み合わせ問題のように表現し、方程式**にスターリング数を使用します（おそらく、それらのプロパティを使用して、同じ近似に到達できます）。（それがより良い、またはおそらくさらに悪いことではありませんが、それはソリューションに別の角度を与えるだけです）

k n

$kn$

n + 1

$n+1$

n

$n$

p / n

$p/n$

1 - p

$1-p$

— Sextus Empiricus