2つの独立した一様確率変数間の比率の分布

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Supppseとはで標準的に均一に分布し、それらは独立しています PDFとは何ですか $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

ある確率理論の教科書からの答えは

f_{Z} （ z ） = {\begin{cases} 1 / 2 、 & もし 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / （ 2 z^{2} ） 、 & もし z > 1 \\ 0 、 & さもないと 。 \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

対称性により、であってはならないのだろうか？上記のPDFによると、これは当てはまりません。 $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions

— qed
ソース

とドメインは何ですか？

X

$X$

Y

$Y$

— ソビ

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil b halvorsen

2

なぜこれが真実であると期待するのでしょうか？密度関数はしっかり確率は点の近傍であり、明らかに、より困難であるパックどのように伝える近くによりも（そのインスタンス考える常にすることができ何でですが、場合はです）。

Z

$Z$

2

$2$

1 / 2

$1/2$

Z

$Z$

1 / 2

$1/2$

X

$X$

Z < 2

$Z < 2$

X > 1 / 2

$X > 1/2$

— dsaxton

2

ユニフォームの比率

— 西安

3

私はそれが重複しているとは思わない、その質問はPDFを探している、ここで私はPDFを持っている、私はその正確さを疑問視している（おそらくかなり素朴に）。

— 15

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正しいロジックは、独立した、およびが同じ分布を持つため、ここで、 CDFは、が連続ランダム変数であるため、あるという事実を使用します。よってのPDF満たすしたがって $X, Y \sim U(0,1)$ $Z=\frac YX$ $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$

\begin{aligned} P {\frac{Y}{バツ} \leq z} & = P {\frac{バツ}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{バツ} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} （ z ） & = 1 - F_{Z} （ \frac{1}{z} ） \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

f_{Z} （ z ） = z^{- 2} f_{Z} （ z^{- 1} ） 、 0 < z < 1。

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$ 、そしてあなたがそうあるべきだと思ったではありません。

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— ディリップ・サルワテ
ソース

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この分布は対称的です。正しい見方をすれば。

（正しく）観測された対称性は、およびが同一に分布している必要があるということです。比率とべき乗を使用する場合、実際には正の実数の乗法グループ内で作業しています。位置不変測度のアナログに添加実数あるスケール不変測度乗法群で正の実数の数字。これらの望ましい特性があります： $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ $\mathbb{R}^{*}$

$d\mu$ は、正の定数に対する変換では不変です $x\to ax$ $a$
$d μ （ a バツ） = \frac{d （ a バツ）}{a バツ} = \frac{d バツ}{バツ} = d μ 。$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
$d\mu$ は、非ゼロの数の変換下で共変です $x\to x^b$ $b$
$d μ （ {バツ}^{b} ） = \frac{d （ {バツ}^{b} ）}{{バツ}^{b}} = \frac{b {バツ}^{b - 1} d バツ}{{バツ}^{b}} = b \frac{d バツ}{バツ} = b d μ 。$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
$d\mu$ は指数関数を介して変換されます：同様に、は対数を介してに変換されます。 $d\lambda$
$d μ （ e^{バツ} ） = \frac{d e^{バツ}}{e^{バツ}} = \frac{e^{バツ} d バツ}{e^{バツ}} = d バツ = d λ 。$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

（3）測定されたグループと間で同型を確立します。であるため、加法空間での反射は乗法空間での反転に対応します。 $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

レッツは、確率要素を書き込むことによって、これらの観察を適用面で（暗黙的に理解すること）よりもむしろ： $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

これは、PDFで不変測度に関して $d\mu$ あるに比例し、ときとにとき近いあなたが望んでいたものに、。 $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

これは、1回限りのトリックではありません。役割を理解すると、多くの数式がよりシンプルで自然に見えます。例えば、パラメータとガンマ関数の確率要素、なる。再スケーリング、べき乗、または累乗によってを変換する場合、よりもを使用する方が簡単です。 $d\mu$ $k$ $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

グループの不変メジャーの概念もはるかに一般的であり、変換のグループ（測定単位の変更、高次元の回転など）の下で問題が不変性を示す統計の領域に適用されます。）。

— ウーバー
ソース

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非常に洞察に満ちた答えのように見えます。残念ですが、現時点では理解できません。後で確認します。

— 15

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幾何学的に考えると...

で -平面、一定の曲線原点を通る線です。（は勾配です。）線との交点を見つけることにより、原点からの線からの値を読み取ることができます。（射影空間を学習したことがある場合：ここでは均質化変数なので、スライス値を見るのは比較的自然なことです。） $X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

sの小さな間隔考えます。この間隔は、からへの線分として線で議論することもできます。この間隔を通過する原点を通る線のセットは、正方形内に実線の三角形を形成します、これは実際に関心のある領域です。もし、次いで三角形の面積である、間隔一定の長さを維持し、それをスライドSOおよびダウン行（ただし、または過ぎていない） $Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ $0 \leq a < b \leq 1$ $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ ）、面積は同じであるため、三角形でを選択する確率は一定であるため、間隔でを選択する確率は一定です。 $(X,Y)$ $Z$

ただし、場合、領域境界は線から離れ、三角形は切り捨てられます。場合、原点を通るおよびからの上限までの投影線は、点および。結果の三角形の面積はです。このことから、面積が均一ではなくさらに右にスライドさせると、三角形の点を選択する確率がゼロに減少します。 $b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

次に、他の回答で示された同じ代数が問題を解決します。特に、OPの最後の質問に、はに達する線に対応しますが、はそうではないため、望ましい対称性は成り立ちません。 $f_Z(1/2)$ $X=1$ $f_Z(2)$

— エリックタワーズ
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3

記録のためだけに、私の直感はまったく間違っていました。確率ではなく密度について話しています。正しいロジックは、それをチェックすることです

\int_{1}^{k} f_{Z} （ z ） d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} （ z ） = \frac{1}{2} （ 1 - \frac{1}{k} ）

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ 、

そして、これは確かにそうです。

— qed
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うん、ユニフォームの比率の分布：何が問題なの？ CDFを提供します。ここのPDFは、CDFの単なる派生物です。したがって、式は正しいです。あなたの問題は、Zが1を中心に「対称」であると考えるという仮定にあると思います。しかし、これは正しくありません。直感的に、Zは歪んだ分布である必要があります。たとえば、Yが間の固定数で、Xが0に近い数である場合、比率は無限になります。したがって、分布の対称性は正しくありません。これが少し役立つことを願っています。 $Z=Y/X$ $(0,1)$

— lzstat
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