制服の比率の分布：何が問題なのですか？

とが区間[0,1]の 2つのiid一様確率変数であると仮定し ます。$X$$Y$$[0,1]$

してみましょう$Z=X/Y$、私はのCDF探しています$Z$、すなわち$\Pr(Z\leq z)$。

今、私はこれを行う2つの方法を考え出しました。1つはpdfと一致する正しい答えを生成します：http : //mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html、もう1つは生成しません。2番目の方法が間違っているのはなぜですか？

最初の方法

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

これは正しいようです。

第二の方法

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$総確率によるPr（zY <1）

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

をとると、 $z>1$$(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

これはすでに異なります。なぜこれが間違っているのですか？

ありがとう！

ここにヒントがあります。

という用語を注意深く検討してください。特に、具体性については、イベント考慮して、選択します。$\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$$z = 2$$\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

次に、この図を見てください（これは上記の確率と非常に密接に関連しています）。

さて、その条件付き確率は特定の選択に依存しますか？$z$