ガウス過程の微分

ガウス過程（GP）の導関数は別のGPであると考えているため、GPの導関数の予測方程式に閉形式の方程式があるかどうかを知りたいですか？特に、二乗指数（ガウスとも呼ばれます）共分散カーネルを使用しており、ガウス過程の微分についての予測について知りたいです。

stochastic-processes gaussian-process derivative

GPの派生物とはどういう意味ですか？BPからランダムに曲線

生成してから、導関数を取りますか？

x (t)

$x(t)$

— プラキディア

@Placidia、いいえ私は平均算出

、私は信じている、別のガウス過程でなければなりません

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

良い質問。しかし、ブラウン運動はGPであり、どこでも微分可能ではないことを思い出すようです。そのため、一般的な表現があるかどうかはわかりません。もちろん、x（t）-x（th）はガウス分布である必要があるため、共分散関数を与えられたhについてそれについての確率を考えることができるはずです。

— 推測

@conjectures、だからこそ、カーネル関数が二乗指数であるGPがあると具体的に言ったので（これは無限微分可能であることがわかっているので）、実際に私の例では微分の場合だけを探していました。しかし、それでもなお良い点です！

回答:

簡単な答え：はい、もしあなたのガウス過程（GP）が微分可能であれば、その派生物は再びGPです。他のGPと同様に処理でき、予測分布を計算できます。

しかし、GP とその派生は密接に関連しているため、どちらか一方のプロパティを他方から推測できます。 $G$ $G'$

存在 $G'$

共分散関数を有するゼロ平均GP 微分可能である（二乗平均で）もし $K$ が存在します。その場合、共分散関数は等しくなります。プロセスがゼロ平均でない場合、平均関数も微分可能である必要があります。その場合、平均関数の平均値関数の導関数である。 $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

（詳細については、A。Papoulisの付録10A「確率、確率変数、および確率過程」の例を参照してください）

Gaussian Exponential Kernelはどのような順序でも微分可能であるため、これは問題ではありません。

予測分布 $G'$

$G'$

$G'$ $G$ $G$

$G'$ $G$ $G$ $K'$

— gg
ソース

あなたの質問が分かりません。上記の共分散関数と平均関数の明示的な公式があります（Rasmussen / Williamsの9.4では）。GPを知って使用するだけで、他に何を求めることができますか？

— gg

G^{'}

$G'$

平均関数とプロセスのパスを混同する可能性はありますか？平均関数はパスよりも滑らかであり、プロセスがそうでなくても微分可能であることに注意してください。しかし、平均関数はプロセスではなく決定論的な関数であるため、計算できる分散はありません。

— gg

そうです。ラスムッセンとウィリアムズのセクション9.4を参照してください。また、一部の著者は、二乗指数ケンネルに強く反対しています-それはあまりにも滑らかです。

— ヤイル・ダオン
ソース

では、導関数の予測分布はありますか？