p値の2つの定義：それらの等価性をどのように証明するか？

私はLarry Wassermanの本、All of Statisticsを読んでいますが、現在はp値（187ページ）について読んでいます。最初にいくつかの定義を紹介しましょう（引用します）：

定義1拒絶領域を有する試験のパワー関数によって定義される 試験のサイズがあると定義される テストのサイズが\ alpha以下の場合、テストはレベル\ alphaであると言います。$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

これは基本的に$\alpha$であり、サイズはタイプIのエラーの「最大の」確率であることを示します$p$値は（I quote）によって定義されます

定義2すべての$\alpha\in(0,1)$に対して、棄却領域R_ \ alphaを持つサイズ$\alpha$テストがあると仮定します。次に、 p \ text {-value} = \ inf \ {\ alpha：T（X ^ n）\ in R_ \ alpha \} where X ^ n =（X_1、\ dots、X_n）です。$R_\alpha$

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ $X^n=(X_1,\dots,X_n)$

私にとってこれは意味します：特定の$\alpha$が与えられると、テストとリジェクション領域$R_\alpha$があり、$\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$。$p$値については、これらすべての\ alphaの最小値をとり$\alpha$ます。

質問1これが当てはまる場合、任意に小さい\ epsilonに対して$\alpha = \epsilon$を明確に選択できます。定義2の誤った解釈とは何ですか。つまり、正確にはどういう意味ですか$\epsilon$

現在、Wassermanは連続的であり、私がよく知っている$p$値の「同等の」定義を持つ定理を述べています（引用します）。

定理サイズがという形式で あると仮定すると 、 ここで、は観測値です。$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

だからここに私の2番目の質問があります：

質問2この定理を実際にどのように証明できますか？多分それは値の定義についての私の誤解によるかもしれませんが、私はそれを理解することができません。$p$

未知のパラメーター持つ分布からされたいくつかの多変量データあります。はサンプルの結果であることに注意してください。$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

未知のパラメーターに関するいくつかの仮説をテストしたいと思います。帰無仮説の下のの値は、セットます。$\theta$$\theta$$\theta_0$

空間に、我々は拒絶領域を定義することができる、そしてこの領域の力次にように定義される。電源がそのように計算される特定の値のためにのサンプル結果確率として拒絶領域にあるの値場合である。明らかに、パワーは領域と選択された依存し。$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

定義1つの定義領域の大きさ$R$のすべての値のsupremumとして用でので、唯一の値に対して下。明らかにこれは地域に依存するため、です。$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

に依存際に地域の変更我々は別の値を持っており、これはp値を定義するための基礎である：地域を変更するが、サンプルの観測値は静止領域に属しているように、用そのような各領域は、計算上記で定義したとinfimumを取る：。したがって、p値はを含むすべての領域の最小サイズです。$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

この定理は、その「翻訳」にすぎません。つまり、領域が統計値を使用して定義され、値に対して領域をとして定義する場合です。上記の推論でこのタイプの領域を使用する場合、定理は次のようになります。$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

コメントのために編集：

@ user8：定理; 定理のように拒絶領域を定義すると、サイズ拒絶領域はようなセットになります（一部の。$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

観測値のp値、つまりを見つけるには、最小領域、つまりようなの最大値を見つける必要がありますまだが含まれていますが、後者（領域にはが含まれています）は（領域の定義方法により）と同じであるため、最大の、このような$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

明らかに、がなるような最大のあり、上記のセットは$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

定義2では、検定統計量の値はすべての最大の下限であり、サイズ検定では仮説が棄却されます。を小さくするほど、許容されるタイプIエラーの許容範囲が狭くなることを思い出してください。したがって、拒否領域も減少します。したがって、（非常に）非公式に言えば、値は選択した最小のであり、観測したデータのを拒否できます。ある時点でため、任意に小さい選択することはできません。$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ 非常に小さいため、観察したイベントが除外されます（つまり、含まれなくなります）。

さて、以上を踏まえて、定理の再検討をお願いします。