確率分布の「モーメント」についての「モーメント」とは何ですか？

モーメントとは何か、それらを計算する方法、およびモーメント生成関数を使用して高次のモーメントを取得する方法を知っています。はい、私は数学を知っています。

統計知識を仕事のために潤滑する必要があるので、私はこの質問をするのもいいと思った-大学に戻って、教授は答えを知らなかった、または単に質問を無視するだろう（正直に） 。

この場合、「モーメント」という言葉はどういう意味ですか？なぜこの単語の選択ですか？それは私には直観的に聞こえません（または大学でそのように聞いたことはありません:)それについて考えると、私は「慣性のモーメント」での使用にも等しく興味があります;）今のところそれに焦点を合わせません。

それで、分布の「瞬間」とは何を意味し、何をしようとしているのか、なぜその言葉なのか！:)なぜ誰かが瞬間を気にするのですか？この瞬間、私はその瞬間についてそうでないと感じています;）

PS：はい、おそらく分散について同様の質問をしたことがありますが、「本を見て調べて」という直観的な理解を大切にします:)

HA David の論文「数学統計における共通用語の最初の（？）の出現」によれば、この状況での「モーメント」という言葉の最初の使用は、カールピアソンによる自然への1893年の手紙「非対称周波数曲線」でした。

ネイマンの1938年のBiometrika論文「カールピアソンの二項モーメントの推定に関する歴史的ノート」は、二項分布のモーメントとモーメントの方法に関する手紙とその後のピアソンの研究の概要を示しています。本当に良い読み物です。JSTORにアクセスしていただければ幸いです。論文の概要を説明する時間はありません（今週末は行いますが）。ただし、「モーメント」という用語が使用された理由についての洞察を与える可能性がある1つの部分について言及します。ネイマンの論文から：

It [Pearson's memoir]は主に、簡単な式の計算を含むいくつかのプロセスによって連続周波数曲線を近似する方法を扱っています。考慮されるこれらの式の1つは、「ポイント二項式」または「ロードされた縦座標の二項式」でした。この式
は、今日我々が二項式と呼ぶものとは異なります。（4）係数のみで、 適合させることが望ましい連続曲線下の面積を表します。$\alpha$

これが最終的に「瞬間の方法」につながったものです。ネイマンは、上記の論文のピアソンの二項モーメントの導出について検討しています。

そして、ピアソンの手紙から：

次に、GNの周りの長方形のシステムの最初の4つのモーメントを見つけます。その中間垂直に沿って集中各矩形の慣性が考慮されるかもしれない場合、我々は、を持っているべきである書き込み、NGラウンドモーメントのD =のC （1つの+ N Qが）。$s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

これは、ピアソンが物理学で一般的な用語である「慣性モーメント」の暗示として「モーメント」という用語を使用したという事実を示唆しています。

ピアソンの自然の手紙のほとんどのスキャンは次のとおりです。

ここで 615ページの記事全体を表示できます。

誰もが瞬間にその瞬間を持っています。私はCumulantで、分散、歪度、尖度を超えた名前を持っています。

奇妙なことに、「HA Davidの論文に「瞬間言及」が見つかりませんでした。そこで、TMポーターの本であるKarl Pearson：The Scientific Life in a Statistical Ageに行きまし た.Karl Pearson and the Origins of Modern Statistics：An Elastician統計学者となった。彼は、例えば、編集弾性の現時点までガリレイから材料力学の理論の歴史を。

彼の背景は非常に広く、特に工学と弾性学の教授であり、橋梁スパンの曲げモーメントの決定と石造ダムの応力計算に関与していました。弾力性では、限られた方法で何が起こっているか（破裂）しか観察しません。彼は（ポーターの本から）興味があったようです。

グラフィカルな計算、または最も威厳のある数学的形式でのグラフィカルな統計。

後で：

彼の統計的キャリアの始まりから、そしてそれ以前でさえ、彼は「モーメント法」を使用して曲線を当てはめた。メカニクスでは、これは複雑な物体を、同じ重心と「スイング半径」、それぞれ1番目と2番目のモーメントを持つ単純または抽象的な物体に一致させることを意味しました。これらの量は、統計および平均の周りの測定値の広がりまたは分散に統計的に対応していました。

それ以来：

ピアソンは離散的な測定間隔で対処しました。これは積分ではなく合計でした

慣性モーメントは、動いている物体の概要を表すことができます。計算は、物体が1点に縮小されたかのように実行できます。

ピアソンは、これらの5つの等式を方程式系として設定し、それを組み合わせて9度の1つにしました。数値解は、逐次近似によってのみ可能でした。現在の例では2つしかありませんでしたが、実際には9つのソリューションが存在する可能性がありました。彼は両方の結果をオリジナルと一緒にグラフ化し、一般的に結果の外観に満足しています。しかし、彼はそれらを決定するために目視検査に依存していませんでしたが、ベストマッチを決定するために6番目の瞬間を計算しました

物理学に戻りましょう。モーメントは、一般的に特定の順序点または軸（空間または時間で）に関して、物理的特性の局所的な配置を考慮する物理量です。基準からある距離で測定された物理量を要約します。量が単一の点に集中していない場合、モーメントは積分または合計によって空間全体で「平均化」されます。

明らかに、モーメントの概念は、アルキメデスによって「発見された」レバーの動作原理の発見にまでさかのぼることができます。最初に知られている出来事の一つは、現在受け入れられている感覚（回転中心に関するモーメント）を持つラテン語の「運動量」です。1565年、フェデリココマンドーノはアルキメデスの作品（Liber de Centro Gravitatis Solidorum）を次のように翻訳しました。

各立体図形の重心は、その中のその点であり、その周りに等しいモーメントの部分があります。

または

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est Punctum illud intra intrapositum、circa quod undique partes aequalium momentorum

明らかに、物理学との類推は非常に強力です。複雑な個別の物理的形状から、圧縮または節約の形である、それを十分に近似する量を見つけます。

過度に単純化されているため、統計モーメントは曲線/分布の追加の記述子です。最初の2つのモーメントに精通しており、これらは一般に連続正規分布または同様の曲線に役立ちます。ただし、これらの最初の2つの瞬間は、他の分布の情報価値を失います。したがって、他の瞬間は、分布の形状/形状に関する追加情報を提供します。

質問：それでは、この場合、「モーメント」という言葉はどういう意味ですか？なぜこの単語の選択ですか？それは私には直観的に聞こえません（または大学でそのように聞いたことはありません:)それについて考えると、私は「慣性のモーメント」での使用にも等しく興味があります;）今のところそれに焦点を合わせません。

回答：実際には、歴史的な意味で、慣性モーメントはおそらく「瞬間」という言葉の意味が由来する場所です。実際、慣性モーメントが分散にどのように関係するかを示すことができます（以下を参照）。これは、より高い瞬間の物理的解釈ももたらします。

物理学では、瞬間とは距離と物理量の積を含む表現であり、このように物理量がどのように配置または配置されるかを説明します。モーメントは通常、固定基準点に関して定義されます。それらは、その基準点からある距離で測定された物理量を扱います。たとえば、オブジェクトに作用する力のモーメントは、多くの場合、トルクと呼ばれ、力と基準点からの距離の積です（下の例を参照）。

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

逆方向に計算する場合、つまり、3Dソリッドオブジェクトを取得して確率関数に変換する場合はどうでしょうか。物事は少し複雑になります。たとえば、トーラスを見てみましょう。

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$