勢いのあるランダムウォーク

次の条件で、0から始まる整数のランダムウォークを検討します。

最初のステップは、等しい確率でプラスまたはマイナス1です。
将来のすべてのステップは次のとおりです。前のステップと同じ方向になる可能性が60％、反対の方向になる可能性が40％

これはどのような分布をもたらしますか？

非運動量のランダムウォークが正規分布をもたらすことを知っています。勢いが分散を変えるだけなのか、それとも分布の性質を完全に変えるのか？

私は一般的な答えを探していますので、60％と40％上で、本当にpと1-pを意味します

stochastic-processes randomness random-walk

実際、@ Dilipには、順序付きペアおよび、によってインデックス付けされた状態を持つマルコフ連鎖が必要です。遷移は、確率およびおよびおよび確率。

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

ステップサイズがマルコフ連鎖を形成し、定常分布で開始することになります（？！）ことに注意してください。

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— 枢機

あなたはのための制限（限界）分布欠けている散歩の手順はありますか？

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— 枢機

別のアプローチは、幾何学的ランダム変数の交互の合計を見てから、マルチンゲール理論を適用することです。問題は、ある種の停止時間を定義する必要があることです。これには注意が必要です。

— みすぼらしいシェフ

回答:

すぐに結論にジャンプするには、「運動量」は、正規分布がランダムウォークの分布の漸近近似であるという事実を変更しませんが、分散はから。これは、この特別な場合の比較的基本的な考慮事項から導き出すことができます。たとえば、以下の引数を有限状態空間マルコフ連鎖のCLTに一般化することはそれほど難しくありませんが、実際の最大の問題は分散の計算です。特定の問題については、それを計算できます。そして、うまくいけば、以下の引数が読者にそれが正しい分散であることを納得させることができます。 $4np(1-p)$ $np/(1-p)$

カーディナルコメントに提供するという洞察を利用して、ランダムウォークは次のように与えられるとの形態マルコフ連鎖を有します遷移確率行列の漸近的考慮のために、の初期分布は役割を果たさないため、次の引数のためにを修正し、であると仮定します。巧妙な手法は、マルコフ連鎖を独立したサイクルに分解することです。してみましょう

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$ は、マルコフ連鎖が1に戻る最初の時間を示します。つまり、場合はであり、および場合はです。一般に、がへの1番目の戻り時間を示し、戻り時間を示します（）。これらの定義により、

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

次いで $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
は、およびに対して値をとるので、 $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
マルコフ連鎖の相互戻り時間（形式的には強いマルコフ特性による）であり、この場合は平均および分散。以下に平均と分散の計算方法を示します。 $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
iid変数の通常のCLTでは、 $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
最後に注意する必要があるのは、詳細をしているため、わずかな信頼の飛躍が必要なことです。、が得られます $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

のモーメントを計算するには、あり、場合、あることに注意してください。次に、幾何分布のモーメントを計算するときに使用されるものと同様の手法を適用できます。あるいは、が成功確率およびで幾何学的である場合、はと同じ分布を持ち、平均と分散を簡単に計算できますこの後者の表現。 $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
ソース

+1いいね。CLTが通常の方法で適用されることを明確に示すために、漸近分布のみを記述しました。しかし、それは味の問題です。

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

— mpiktas

Van Belleの「Rule of Thumb」8.7（彼の本の第2版から）には、イノベーションに自己相関がある場合の平均の標準誤差の近似が含まれています。を使用してこれを翻訳すると、ここで、後にランダムウォークの位置であるステップ、及び漸近的に、あろうサンプルの標準偏差である（、。結論としては、大まかな近似として、の標準偏差はおよそ $\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ 。

編集：私は間違った自己相関を持っていた（またはが異なって解釈されるべきだった）。一貫性があります（願っています！） $p$

— みすぼらしい
ソース

面白い。それがサブケースに対して非常に賢明な何かをもたらすかどうかはわかりません。しかし、それはそのケースに関連する病状による可能性があります。

p = 0

$p=0$

— 枢機

自己相関があるべき@cardinal良いキャッチ、ない。それを修正

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$

— ...-shabbychef