無相関だが線形従属変数のセット

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相関はないが線形従属である変数のセットを持つことは可能ですか？ $K$

すなわちおよび $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

はいの場合、例を書くことができますか？

編集：答えから、それは不可能であるということになります。

それは、少なくとも可能であろうとここで、から推定推定された相関係数である変数のサンプルとある変数でありますとは無相関。 $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

ようなものを考えています $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— ドンボ
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@ RUser4512の回答が示すように、無相関の確率変数は線形従属にすることはできません。しかし、ほとんど相関のない確率変数は線形依存する可能性があり、これらの1つの例は統計学者の心にとって大切なものです。

$\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

私の以前の回答もご覧ください。

— ディリップ・サルワテ
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これは本当に良い例です！

— RUser4512 2015年

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番号。

$a_i$ $a_1=1$

$K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

$K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
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\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

とても良い答えです。編集後の質問にもお答えいただければ幸いです。

— Donbeo、2015年

v

$v$

x_{K}

$x_K$

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

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$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

— カール・オーブ・ハフトハンマー
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